- 导数存在的充要条件 $$f'(x) ,\exists \iff f'-(x_0) = f'+(x_0)$$
左导数 $f'-(x_0) - \lim{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0 +\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$ 右导数 $f'+(x_0) = \lim{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0 +\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
-
插值形式
$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$ -
$\Delta x$ 的广义化$$f'(x_0) = \lim_{狗 \to 0} \frac{f(x_0 +狗) - f(x_0)}{狗}$$ -
一静一动原则 例如
$\lim_{2\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0 - \Delta x)}{2\Delta x} \ne f'(x_0)$ （不成立）
-
$(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}$ $(a^x)' = a^x \ln{a}$ $(e^x)' = e^x \ln{e} = e^x$ $(\ln{x})' = \frac{1}{x}$ -
$(\sin{x})' = \cos{x}$ $(\cos{x})' = - \sin{x}$ -
$(\tan{x})' = \sec^2{x}$ $(cot{x})' = -\csc^2{x}$ -
$(\sec{x})' = \sec{x} \tan{x}$ $(\csc{x})' = -\csc{x} \cot{x}$ -
$(\arcsin{x})' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $(\arccos{x})' = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ -
$(\arctan{x})' = \frac{1}{1+x^2}$ $(\arccot{x})' = -\frac{1}{1+x^2}$ -
$[\ln{(x + \sqrt{x^2+1})}]' = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ $[\ln{(x + \sqrt{x^2-1})}]' = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
对于多项相乘、多项相除、开方、乘方的式子，先取对数，再求导
设
- 有界性定理
$$\exists K \gt 0 ,, |f(x)| \le K ,, \forall x \in[a,b]$$ - 最值定理
$$m \le f(x) \le M ,, m = \min{f(x)} ,, M = \max{f(x)} ,, \forall x \in [a,b]$$ - 介值定理
若
$m \le \mu \le M$ ，则$\exists \xi \in [a,b]$ ，使$f(\xi) = \mu$ - 零点定理
若
$f(a) \cdot f(b) \lt 0$ ，则$\exists \xi \in (a,b)$ ，使$f(\xi) = 0$
-
费马定理 若
$f(x)$ 在$x=x_0$ 处可导且能取极值，则$f'(x_0) = 0$ -
罗尔定理 若
$f(x)$ 满足以下三个条件：- 在
$[a,b]$ 上连续 - 在
$(a,b)$ 内可导 $f(a) = f(b)$
- 在
则
- 拉格朗日中值定理
若
$f(x)$ 满足以下两个条件：- 在
$[a,b]$ 上连续 - 在
$(a,b)$ 内可导
- 在
则
（罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例）
- 柯西中值定理
设
$f(x)$ 和$g(x)$ 满足条件：- 在
$[a,b]$ 上连续 - 在
$(a,b)$ 内可导 $g'(x) \ne 0$
- 在
则
- 若
$g(x) = x$ ，则$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{1}$ ，即拉格朗日中值定理- 柯西 > 拉格朗日 > 罗尔
- 泰勒公式
任何可导函数
$f(x) = \sum a_n x^n$ - 带拉格朗日余项的Taylor公式
$$f(x) = f(x_0) + f'(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ... + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} ,, \xi \in(x,x_0)$$ 如：若$f(x)$ 三阶可导，则$f(x) = f(x_0) + f'(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \frac{f'''(\xi)}{3!}(x-x_0)^3$ 其中，当$x_0 = 0$ 时，则得到麦克劳林公式$f(x) = f(0) +f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(\xi)}{3!}x^3 ,, \xi \in (x,0)$ - 带佩亚诺余项的Taylor公式（$f(x)$ n阶可导）
$$f(x) = f(x_0) + f'(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ... + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + o[(x-x_0)^n]$$ 如：当$f(x)$ 三阶可导时，$f(x) = f(x_0) + f'(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3 + o[(x-x_0)^3]$ 其中，若$x_0 - 0$ ，则得到麦克劳林公式$f(x) = f(0) +f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + o(x^3)$ - 常用麦克劳林公式
$$e^x = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + ... + \frac{1}{n!}x^n + o(x^n)$$ $$\ln{(1+x)} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ... + (-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1} + o(x^{n+1})$$ -
$$\sin{x} = x - \frac{1}{3!}x^3 + ... + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+1})$$ $\sin{x} = x - \frac{1}{6}x^3 + o(x^3)$ $$\cos{x} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - ... + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n})$$ $$(1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + ... + \frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha -n+1)}{n!} x^n + o(x^n)$$ $$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + ... + x^n + o(x^n)$$ $$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - ... + (-1)^n x^n + o(x^n)$$
- 带拉格朗日余项的Taylor公式
-
涉及
$f(x)$ 的应用 -
罗尔定理的应用
$F(a) = F(b) \Rightarrow F'(\xi) = 0$ - 构造辅助函数
$F(x)$ - 求导公式
$(u \cdot v)' = u'v+uv'$ 逆用- 见
$F'(\xi)=f'(\xi)\cdot \xi+f(\xi)=0$ ，构造$F(x)=f(x)x$ - 见
$F'(\xi)=[f'(\xi)+f(\xi)]e^{\xi}=0$ ，构造$F(x)=f(x) e^x$ - 见
$F'(\xi)=[f'(\xi)+f(\xi) \varphi'(\xi)] e^{\varphi(\xi)}=0$ ，构造$F(x)=f(x) e^{\varphi(x)}$ - 见
$F'(\xi)=f''(x)+g(x)f'(x)=0$ ,构造$F(x)=f'(x) e^{\int g(x)\text{d}x}$ - 见
$F'(\xi)=f(x)+g(x) \int_0^x f(t)\text{d}t =0$ ，构造$F(x)=\int_0^x f(t)\text{d}t \cdot e^{\int g(x) \text{d}x}$ - 见
$F'(\xi)=f'(x)+g(x)[f(x)-1]=0$ ，构造$F(x)=[f(x)-1] \cdot e^{\int g(x)\text{d}x}$
- 见
- 积分还原法
- 将欲证结论中的
$\xi$ 改为$x$ - 积分之（为了简单，令
$c=0$ ） - 移项使等式一端为0，另一端记为
$F(x)$
- 将欲证结论中的
- 求导公式
- 构造辅助函数
-
拉氏中值定理的应用
$f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 或$f(b)-f(a) = f'(\xi)(b-a)$ 命题角度：- 将
$f$ 复杂化（构造$F(x)$ ） - 给出相对高阶条件，证低阶不等式
- 给出相对低阶条件，证高阶不等式
- 具体化函数
$f$
- 将
-
柯西中值定理的应用
$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} ,, \frac{f-抽象}{g-具体}$ - 双中值（$\zeta ,, \eta$），有可能相等？
- 无
$\zeta \ne \eta$ 要求：在同一区间$[a,b]$ 上用两次中值定理 - 有
$\zeta \ne \eta$ 要求：将区间$[a,b]$ 分为$[a,c]$ 和$[c,b]$
- 无
- 双中值（$\zeta ,, \eta$），有可能相等？
-
泰勒公式的应用 展开成高阶
-
极值定义
- 广义极值
存在
$x_0$ 的某个邻域，$\forall x \in U(x_0,\delta) ,, f(x) \le f(x_0)$，则称$x_0$ 为$f(x)$ 的广义极大值点 - 严格极值
存在
$x_0$ 的某个去心邻域，$\forall x \in \mathring{U}(x_0,\delta) ,, f(x) \lt f(x_0)$，则称$x_0$ 为$f(x)$ 的严格极大值点
- 广义极值
存在
-
单调性与极值判别
- 判法一：
若
$f'(x) \gt 0 ,, \forall x \in I$ ，则$f(x)$ 递增 - 判法二：
若
$f(x)$ 在$x_0$ 处连续，在$\mathring{U}(x_0,\delta)$ 内可导，- 在
$(x_0-\delta,x_0)$ 内$f'(x) \lt 0$ ，在$(x_0,x_0+\delta)$ 内$f'(x) \gt 0$ ，则有极小值 - 在
$(x_0-\delta,x_0)$ 内$f'(x) \gt 0$ ，在$(x_0,x_0+\delta)$ 内$f'(x) \lt 0$ ，则有极大值
- 在
- 判法三：
若
$f(x)$ 在$x_0$ 处二阶可导，$f'(x_0)=0$，$f''(x_0) \ne 0$-
$f''(x) \gt 0$ ，极小 -
$f''(x) \lt 0$ ，极大 > 证： > 泰勒展开，得$f(x) = f(x_0) +f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2} (x-x_0)^2 + o[(x-x_0)^2]$ > 因$f'(x_0) = 0$ ，$f''(x_0) \gt 0$ > 故$f(x) - f(x_0) = \frac{f''(x_0)}{2} (x-x_0)^2 + o[(x-x_0)^2] \gt 0$ >$x=x_0$ 处取极大值
-
- 判法一：
若
-
凹凸性
$\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \gt f(\frac{x_1+x_2}{2}) \iff$ 凹$\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \lt f(\frac{x_1+x_2}{2}) \iff$ 凸- 判别方法
设
$f(x)$ 在$D$ 上二阶可导- 若
$f''(x) \gt 0 ,, \forall x \in D$ ，则$f(x)$ 凹 - 若
$f''(x) \lt 0 ,, \forall x \in D$ ，则$f(x)$ 凸
- 若
- 判别方法
设
-
拐点 连续曲线凹凸弧的连接点（分界点）
- 判别方法
- 设
$f(x)$ 在$D$ 上二阶可导 若$f‘’(x)$ 在$x_0$ 点的左右邻域内变号，则$(x_0,f(x_0))$ 是拐点 - 设
$f(x)$ 在$D$ 上三阶可导 若$f''(x_0) = 0$ ，$f'''(x_0) \ne 0$，则 $ (x_0,f(x_0))$是拐点
- 设
- 判别方法
-
渐近线
- 铅锤渐近线
若
$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \infty$ 或$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \infty$ 则$x = x_0$ 为铅锤渐近线 （一般出现在：无定义点或区间端点） - 水平渐近线
若
$\lim_{x \to -\infty} f(x) = A$ 或$\lim_{x \to -\infty} f(x) = A$ 则$y=A$ 为水平渐近线 - 斜渐近线
若
$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = a \ne 0$ ，且 $ \lim_{x \to \pm \infty} |f(x)-ax| = b $ 存在， 则$y = ax+b$ 是$f(x)$ 的一条斜渐近线
- 铅锤渐近线
若
-
最值
- 闭区间
$[a,b]$ 上连续函数$f(x)$ 的最值- 求
$f'x)=0$ （驻点）、$f'(x)$不存在（不可导点）、$f(a)$和$f(b)$（端点） - 比较以上所求得的函数值，得
最大值
$\max(f(x_0),f(x_1),f(a),f(b)$ ， 最小值$\max(f(x_0),f(x_1),f(a),f(b)$
- 求
- 开区间
$(a,b)$ 记$\lim_{x \to a^+} f(x) = A$ ，$\lim_{x \to b^-} f(x) = B$ 比较 驻点、不可导点和A、B的值
- 闭区间
- 研究对象的复杂化
- 区间的复杂化
- 存在性
- 零点定理
$f(a)f(b) \lt 0 \iff f(\xi)=0$ - 罗尔定理
$f'(\xi)=0$
- 零点定理
- 唯一性
- 单调性
- 罗尔定理：
若
$f'(x)=0$ 至多0个根，则$f(x)=0$ 至多1个根 **若$f^{(n)}(x)=0$ 至多k个根，则$f^{(n-1)}(x)=0$ 至多$k+1$ 个根 **