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Nous nous sommes pour l'instant restreint aux éléments finis $\Pun$, c'est à dire linéaire. Mais rien ne nous empêche de considérer des fonctions de formes quadratiques plutôt que linéaires (ou constantes par morceaux ($\Pzero$)). Nous définissons ainsi, pour tout ouvert $\omega$ de $\Rb^2$, l'espace $\Pdeux(\omega)$ des polynômes de degré $2$ sur $\omega$ :
$$
\Pdeux(\omega) = \enstq{u\restrict_{\omega}}{\exists a,b,c,d,e,f\in\Cb, \forall (x,y)\in\omega, u(x,y) = ax^2 + by^2 +cxy +dx+ey+f}.
$$
Cet espace est de dimension $6$.
Dans le triangle de référence
Considérons le triangle de référence $\Kh$ munit de $3$ points supplémentaires. Afin d'éviter toute confusion entre les degrés de liberté et les sommets du maillage, nous nommons $\qh_j$ ces 6 points, comme indiqué sur la figure ci-dessous. Autrement dit, les trois premiers points sont les sommets du triangle.
{{< figure src="../triangle_ref_p2.svg" title="Triangle de référence en $\Pb^2$" numbered="true">}}
Nous continuons de noter $\varphih_{j}$, pour $j=1,2,3$ les fonctions de forme $\Pun$ sur le triangle de référence $\Kh$ :
$$
\varphih_{1}(\xi,\eta) = 1 -\xi-\eta,\qquad
\varphih_{2}(\xi,\eta) = \xi,\qquad
\varphih_{3}(\xi,\eta) = \eta.
$$
À l'aide de ces fonctions, nous définissons $6$ fonctions $\phih_{j}$, pour $j=1,\ldots,6$ ainsi :
$$
\left\{
\begin{array}{r c l }
\dsp \phih_{1} &=& 2 \varphih_{1}\left(\varphih_{1} - \frac{1}{2}\right)\\\
\dsp \phih_{2} &=& 2 \varphih_{2}\left(\varphih_{2} - \frac{1}{2}\right)\\\
\dsp \phih_{3} &=& 2 \varphih_{3}\left(\varphih_{3} - \frac{1}{2}\right)
\end{array}
\right.
\qquad
\left\{
\begin{array}{r c l }
\dsp \phih_{4} &=& 4 \varphih_{1}\varphih_{2}\\\
\dsp \phih_{5} &=& 4 \varphih_{2}\varphih_{3}\\\
\dsp \phih_{6} &=& 4 \varphih_{1}\varphih_{3}
\end{array}
\right.
$$
{{< thm/thm lemma >}}
Pour tout $i,j=1,\ldots,6$, nous avons
$$
\phih_{j}(\qh_i)=\deltaij.
$$
{{< /thm/thm >}}
{{< thm/proof >}}
Nous le démontrons pour $\phih_{1}$ uniquement, pour les autres, le calcul est similaire. Comme $\qh_{i} = \sh_i$, nous avons d'une part $\varphih_{1}(\qh_{i}) = \delta_{i,1}$, et d'autre part :
$$
\left\{
\begin{array}{r c l c l}
\varphih_{1}(\qh_{4})-\frac{1}{2} &=& \varphih_{1}(\frac{1}{2},0) - \frac{1}{2} = (1 - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} &=& 0 \\\
\varphih_{1}(\qh_{5})&=& \varphih_{1}(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) = (1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2})& =& 0 \\\
\varphih_{1}(\qh_{6})-\frac{1}{2} &=& \varphih_{1}(0,\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} = (1 - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} &=& 0 \\\
\end{array}
\right.
$$
Nous en déduisons :
$$
\left\{
\begin{array}{r c l c l }
\phih_{1}(\qh_{1}) &=& 2\times 1 (1 - \frac{1}{2}) & =&1\\\
\phih_{1}(\qh_{2}) &=& 2\varphih_{1}(\sh_2) (\varphih_{1}(\sh_2) - \frac{1}{2}) &=& 0\\\
\phih_{1}(\qh_{3}) &=& 2\varphih_{1}(\sh_3) (\varphih_{1}(\sh_3) - \frac{1}{2}) &=& 0\\\
\phih_{1}(\qh_{4}) &=& 2\varphih_{1}(\qh_{4}) (\varphih_{1}(\qh_{4}) - \frac{1}{2}) &=& 0\\\
\phih_{1}(\qh_{5}) &=& 2\varphih_{1}(\qh_{5}) (\varphih_{1}(\qh_{5}) - \frac{1}{2}) &=& 0\\\
\phih_{1}(\qh_{5}) &=& 2\varphih_{1}(\qh_{6}) (\varphih_{1}(\qh_{6}) - \frac{1}{2})& = &0\\\
\end{array}
\right.
$$
Autrement, nous pouvons remarquer que $\varphih_{1}$ est nulle sur le segment $[\sh_2,\sh_3]$, donc en particulier en $\qh_{5}$, et $\varphi_1-\frac{1}{2}$ l'est sur le segment $[\qh_{4},\qh_{5}]$.
{{< /thm/proof >}}
{{< thm/thm lemma >}}
La famille $(\phih_{j})_{1\leq j \leq 6}$ forme une base de $\Pdeux(\Kh)$.
{{< /thm/thm >}}
{{< thm/proof >}}
La famille est de cardinal 6 comme la dimension de $\Pdeux(\Kh)$, nous n'avons donc qu'à démontrer la liberté de la famille pour obtenir son caractère générateur. Soient $(\alpha_i)_{1\leq i \leq 6}$ six scalaires complexes :
$$
\begin{array}{ r l}
\sum_{i=1}^6\alpha_i \phih_{i} = 0 \implies & \forall (\xi,\eta)\in\Kh, \quad \sum_{i=1}^6 \alpha_i \phih_{i}(\xi,\eta) = 0 \\\
\implies & \forall j=1,\ldots, 6,\quad \sum_{i=1}^6 \alpha_i \phih_{i}(\qh_{j}) = 0\\\
\implies & \forall j=1,\ldots, 6,\quad \alpha_j = 0.
\end{array}
$$
La famille est donc libre, donc génératrice et forme donc une base de $\Pdeux(\Kh)$.
{{< /thm/proof >}}
Dans un triangle générique
Nous ne donnerons pas d'expression explicite. Nous rappelons juste que, pour obtenir les fonctions de forme dans un triangle quelconque, une méthode consiste à transformer le triangle de référence en le triangle désiré. En reprenant les notations du chapitre à ce sujet, nous disposons d'une transformation $\Tk{p}$ de $\Kh$ à $\tri{p}$, un triangle quelconque non plat :
$$
\begin{array}{c c c l}
\Tk{p} \colon & \Kh & \to & \tri{p}\\\
& (\xi,\eta) & \mapsto & (x,y) = \sum_{i=1}^3 \sumitK{p}{i}\psih_i(\xi,\eta)
\end{array}
$$
où les fonctions $\psih_i$ sont les fonctions linéaires de transformation géométrique (en particulier, nous avons $\psih_i= \varphih_{i}$).
Prenons un triangle $\tri{p}$ quelconque de sommets $(\sumitK{p}{1}, \sumitK{p}{1}, \sumitK{p}{3})$ et de points $\sumitQ{p}{1} = \sumitK{p}{1}$, $\sumitQ{p}{2} = \sumitK{p}{2}$, $\sumitQ{p}{3} = \sumitK{p}{3}$ ainsi que $\sumitQ{p}{4} = \frac{1}{2}(\sumitK{p}{1}+ \sumitK{p}{2})$, $\sumitQ{p}{5} = \frac{1}{2}(\sumitK{p}{2}+ \sumitK{p}{3})$ et $\sumitQ{p}{6} = \frac{1}{2}(\sumitK{p}{1} + \sumitK{p}{3})$ (les milieux des arrêtes).
Les fonctions de forme sur $\tri{p}$ sont les fonctions $\phi_j^p\in\Pb^2(\tri{p})$, pour $j=1,\ldots,6$ :
$$
\phi_j^p(x,y) = \phih_{j}((\Tk{p})^{-1}(x,y)), \qquad \text{ avec } (x,y) = \Tk{p}(\xi,\eta).
$$
{{< thm/thm lemma >}}
La famille $(\phi_j^p)_{1\leq j \leq 6}$ forme une base de $\Pdeux(\tri{p})$.
{{< /thm/thm >}}
{{% callout note %}}
La transformation géométrique est ici linéaire. Si $\Omega$ n'est plus un polygône, il se peut alors que l'approximation linéaire (i.e. par des triangles droits) soit le bottleneck de la méthode. Autrement dit, la convergence de la méthode sera limité par cette approximation géométrique et l'utilisation d'une méthode $\Pdeux$ ne sera pas ou peu bénéfique. Pour améliorer l'approximation du domaine, une transformation quadratique (ou plus) devrait être alors envisagée et les triangles seraient alors courbes.
{{% /callout %}}
Espace éléments finis P2-Lagrange
Nous pouvons maintenant donner la définition de cet espace, noté $\Vh^2$ :
$$
\Vh^2 = \enstq{u\in\Cscr^0(\Omega)}{\forall \tri{p}\in\Tscr_h, u\restrict_{K}\in\Pdeux(\tri{p})}.
$$
Nous introduisons de plus $\Sscr_h$ l'ensemble des sommets de $\Tscr_h$, $\Ascr_h$ celui des arrêtes de $\Tscr_h$ et $\Dscr_h$ l'ensemble des degrés de liberté :
$$
\Dscr_h = \Sscr_h \bigcup \enstq{\ssb\in\Rb^2}{\ssb \text{ est le milieu d'une arrête de }\Ascr_h}.
$$
{{< thm/thm proposition >}}
Pour toute fonction $\uh\in \Vh^2$, nous avons $\uh=0$ si et seulement si $\uh(\sumitQ{}{})=0$ pour $\sumitQ{}{}\in\Dscr_h$.
{{< /thm/thm >}}
{{< thm/proof >}}
Soit $\tri{p}$ un triangle de $\Tscr_h$, alors nous avons :
$$
\exists (\alpha_i)_{1\leq i \leq 6}\in\Cb, \forall(x,y)\in \tri{p},\quad u\restrict_{\tri{p}}(x,y) = \sum_{i=1}^6\alpha_i\phi_i^p.
$$
En évaluant cette expression directement aux sommets, nous obtenons que $\alpha_i = 0$ pour tout $i$ et donc que $u=0$ dans $\tri{p}$. Nous concluons que $u$ est nul partout puisque nul sur chaque triangle et continue sur $\Omega$.
{{< /thm/thm >}}
{{< thm/thm proposition Admis >}}
Pour tout $u_h,v_h\in V_h^2$, nous avons $u_h = v_h$ si et seulement si $u_h(\qq) = v_h(\qq), \forall \qq\in\Dscr_h$.
{{< /thm/thm >}}
Autrement dit, une fonction de $V_h^2$ est exactement définie par sa valeur sur les degrés de liberté.
{{< thm/thm lemma >}}
La dimension de $V_h^2$ est donnée par
$$
\dim(V_h^2) = \card(\Sscr_h) + \card(\Ascr_h).
$$
{{< /thm/proof >}}
Ordre élevé
De la même manière, nous pouvons définir des éléments finis pour des ordres supérieurs : $\Ptrois,\Pquatre$, ... Nous ne les étudierons pas, mais gardons en tête que cela est possible.