Aufgabe2.tex

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\renewcommand{\thesubsection}{\thesection.\alph{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\thesection.\alph{subsection}.\roman{subsubsection}}

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\mdtheorem[style=theoremstyle]{task}{Angabe}

\newmdenv[style = style2,title=false]{solution}

\begin{document}
\begin{task}[Stabilität und Linearisierung]
Ein Ball liege auf einem Rad. Das Rad werde durch ein Drehmoment $M$ angetrieben.
Durch die Drehung des Rades soll der Ball in der oberen Ruhelage balanciert werden.
Die interessierende Ausgangsgröße sei der Winkel $\alpha$, um
den der Ball von der Mitte abweicht. Mit nicht physikalisch motivierten Parametern erhält man die Differentialgleichungen zweiter Ordnung

\[ 
\begin{aligned} 3 \dot{\omega}-2 \ddot{\alpha} &=M \\-2 \dot{\omega}+3 \ddot{\alpha}-\frac{11}{2} \sin (\alpha) &=0 \end{aligned}
 \]
 
mit Drehmoment $M$ und Winkelgeschwindigkeit $\omega$. Der
Winkel des Rades wird nicht modelliert.
\emph{HINWEIS: Nebenstehende Skizze dient nur der Veranschaulichunq. Die Bewegunqsgleichungen sind gegeben.}

 \begin{enumerate}[i]
     \item Bringen Sie das nichtlineare System auf Zustandsdarstellung
     \[ 
\begin{aligned} \dot{\mathbf{x}} &=\mathbf{f}(\mathbf{x}, u) \\ y &=g(\mathbf{x}, u) \end{aligned}
 \]
 \begin{solution}
 Da $\alpha$ der Ausgang des Systems sein soll, muss es jedenfalls im Zustandsvektor $\mathbf{x}$ vorkommen.
 Es müssen die beiden gegebenen Gleichungen nach $\ddot{\alpha}$ und $\dot{\omega}$ aufgelöst werden.
 
 \[\mathbf{x} = \begin{pmatrix} \alpha \\ \dot{\alpha} \\ \omega \end{pmatrix}, \quad 
 \dot{\mathbf{x}} = \begin{pmatrix} \dot{\alpha} \\ \ddot{\alpha} \\ \dot{\omega} \end{pmatrix} = 
 \begin{pmatrix} \dot{\alpha} \\ \frac{33}{10}\sin{\alpha} + \frac{2}{5} M\\ \frac{11}{5} \sin{\alpha} + \frac{3}{5} M  \end{pmatrix}
 \]
    \end{solution}
 \item Berechnen Sie die stationäre Stellgröbe $u_{s}$ so, dass sich eine Ruhelage $\mathbf{x}_{s}$ mit
$\alpha_{s}=0$ einstellt und geben Sie die Ruhelage $\mathbf{x}_{s}$ an.
 \begin{solution}
 \[ \mathbf{x}_s = \begin{pmatrix} \alpha_s \\ \dot{\alpha_s} \\ \omega \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad
 \dot{\mathbf{x}_s} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 
 \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{33}{10}\sin{0} + \frac{2}{5} M\\ \frac{11}{5} \sin{0} + \frac{3}{5} M  \end{pmatrix} \rightarrow  M = 0\]
 
    \end{solution}
\item Linearisieren Sie das System um die zuvor berechnete Ruhelage und geben Sie es
in Zustandsdarstellung an:
\[ 
\begin{aligned} \Delta \dot{\mathbf{x}} &=\mathbf{A} \Delta \mathbf{x}+\mathbf{b} \Delta u \\ \Delta y &=\mathbf{c}^{T} \Delta \mathbf{x} \end{aligned}
 \]
\begin{solution}
\[\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ \frac{33}{10} & 0 & 0 \\ \frac{11}{5} & 0 & 0\end{pmatrix},  \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix}0 \\ \frac{2}{5} \\ \frac{3}{5}\end{pmatrix}, \quad \mathbf{c}^T =  \begin{pmatrix}1 &0 &0\end{pmatrix}\]
    \end{solution}
    \item Beurteilen Sie die Stabilität der Ruhelage $\mathbf{x}_{s}$ von Punkt (ii) anhand des linearisierten Systems.
\begin{solution}
    \[\text{Det}\left( \mathbf{A} - \mathbf{E}\lambda \right) = - \lambda^3 + \lambda \frac{33}{10} \rightarrow \lambda_1 = 0, \quad \lambda_{2,3} = \pm \sqrt{\frac{33}{10}}\]
    
    Es existiert mindestens ein Eigenwert mit positiven Realteil, somit ist das System instabil.
\end{solution}
 \end{enumerate}
\end{task}
\end{document}