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决策树将算法组织成一颗树的形式。其实这就是将平时所说的if-then语句构建成了树的形式。决策树主要包括三个部分：内部节点、叶节点、边。内部节点是划分的特征，边代表划分的条件，叶节点表示类别。
构建决策树 就是一个递归的选择内部节点，计算划分条件的边，最后到达叶子节点的过程。 决策树在本质上是一组嵌套的if-else判定规则，从数学上看是分段常数函数，对应于用平行于坐标轴的平面对空间的划分。判定规则是人类处理很多问题时的常用方法，这些规则是我们通过经验总结出来的，而决策树的这些规则是通过训练样本自动学习得到的。
训练时，通过最大化Gini或者其他指标来寻找最佳分裂。决策树可以输特征向量每个分量的重要性。
决策树是一种判别模型，既支持分类问题，也支持回归问题，是一种非线性模型（分段线性函数不是线性的）。它天然的支持多分类问题。
决策树可以表示成给定条件下类的条件概率分布。
决策树中的每一条路径都对应是划分的一个条件概率分布. 每一个叶子节点都是通过多个条件之后的划分空间，在叶子节点中计算每个类的条件概率，必然会倾向于某一个类，即这个类的概率最大。
- 使用信息增益时：模型偏向于选择取值较多的特征
- 使用信息增益比时：对取值多的特征加上的惩罚，对这个问题进行了校正。
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$ID3$ -
$ID3$ 算法没有考虑连续特征，比如长度，密度都是连续值，无法在ID3运用。这大大限制了ID3的用途。 -
$ID3$ 算法采用信息增益大的特征优先建立决策树的节点，偏向于取值比较多的特征 -
$ID3$ 算法对于缺失值的情况没有做考虑 -
$ID3$ 算法没有考虑过拟合的问题
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$C4.5$ 在$ID3$算法上面的改进- 连续的特征离散化
- 使用信息增益比
- 通过剪枝算法解决过拟合
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$C4.5$ 的不足：-
$C4.5$ 生成的是多叉树 -
$C4.5$ 只能用于分类，如果能将决策树用于回归的话可以扩大它的使用范围。 -
$C4.5$ 由于使用了熵模型，里面有大量的耗时的对数运算,如果是连续值还有大量的排序运算
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$CART$ 算法- 可以做回归，也可以做分类，
- 使用基尼系数来代替信息增益比
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$CART$ 分类树离散值的处理问题，采用的思路是不停的二分离散特征。
主要需要解决的是两个问题，一是在样本某些特征缺失的情况下选择划分的属性，二是选定了划分属性，对于在该属性上缺失特征的样本的处理。
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如何在特征值缺失的情况下进行划分特征的选择？
（比如“色泽”这个特征有的样本在该特征上的值是缺失的，那么该如何计算“色泽”的信息增益？）-
每个样本设置一个权重（初始可以都为1）
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划分数据，一部分是有特征值$a$的数据，另一部分是没有特征值$a$的数据,记为$\tilde{D}$，
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对没有缺失特征值$a$的数据集$\tilde{D}$，来和对应的特征$A$的各个特征值一起计算加权重后的信息增益比，最后乘上一个系数$\rho$ 。
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$$ \tilde{p}{k}=\frac{\sum{x \in \tilde{D}{k}} w{x}}{\sum_{x \in \tilde{D}} w_{x}} \quad(1 \leq \mathrm{k} \leq|y|) $$
$$ \tilde{r}{v}=\frac{\sum{x \in \tilde D^{v}} w_{x}}{\sum_{x \in \tilde{D}} w_{x}} \quad(1 \leq v \leq V) $$
假设特征$A$有$v$个取值${a_1,a_2 \dots a_v}$
新的信息增益公式： $$ \begin{aligned} &\operatorname{Gain}(D, a)=\rho \times \operatorname{Gain}(\tilde{D}, a)=\rho \times\left(\operatorname{Ent}(\tilde{D})-\sum_{v=1}^{V} \tilde{r}{v} \operatorname{Ent}\left(\tilde{D}^{v}\right)\right)\ &\operatorname{Ent}(\tilde{D})=-\sum{k=1}^{|y|} \tilde{p}_{k} \log {2} \tilde{p}{k} \end{aligned} $$
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给定划分特征，若样本在该特征上的值是缺失的，那么该如何对这个样本进行划分？
（即到底把这个样本划分到哪个结点里？）- 让包含缺失值的样本以不同的概率划分到不同的子节点中去。
比如缺失特征A的样本a之前权重为1，特征A有3个特征值A1,A2,A3。 3个特征值对应的无缺失A特征的样本个数为2,3,4.则a同时划分入A1，A2，A3。对应权重调节为2/9,3/9, 4/9。
其中$|T|$代表叶节点个数
因为连续特征的可取值数目不再有限，因此不能像前面处理离散特征枚举离散特征取值来对结点进行划分。因此需要连续特征离散化，常用的离散化策略是二分法，这个技术也是$C4.5$中采用的策略。下面来具体介绍下，如何采用二分法对连续特征离散化：
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训练集D，连续特征$A$，其中A有n个取值
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对$A$的取值进行从小到大排序得到：${a_1,a_2\dots a_n}$
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寻找划分点$t$，$t$将D分为子集$D_{t}^{-}$与$D_{t}^{+}$
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$D_{t}^{-}$ ：特征$A$上取值不大于$t$的样本 -
$D_{t}^{+}$ ：特征$A$上取值大于$t$的样本
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对相邻的特征取值$a_i$与$a_{i+1}$，t再区间$[a_i,a_{i+1})$中取值所产生的划分结果相同，因此对于连续特征$A$,包含有$n-1$个元素的后选划分点集合
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把区间$[a_i,a_{i+1})$的中位点$\frac{a_i + a_{i+1}}{2}$作为候选划分点
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按照处理离散值那样来选择最优的划分点,使用公式： $$ Gain(D,a) =\underbrace{max}{t\in T_a}Gain(D,a,t) = \underbrace{max}{t\in T_a}\ (Ent(D) - \sum_{\lambda \in {-,+ }}\frac{|D_t^{\lambda}|}{|D|}Ent(D_t^{\lambda})) $$ 其中$Gain(D,a,t)$是样本集$D$基于划分点$t$二分之后的信息增益。划分点时候选择使用$Gain(D,a,t)$最大的划分点。
思想和$C4.5$相同，都是将连续的特征离散化。唯一区别在选择划分点时，C4.5是信息增益比，CART是基尼系数。
CART采用的是不停的二分。会考虑把特征$A$分成${A1}$和${A2,A3}$、${A2}$和${A1,A3}$、${A3}$和${A1,A2}$三种情况，找到基尼系数最小的组合，比如${A2}$和${A1,A3}$，然后建立二叉树节点，一个节点是$A2$对应的样本，另一个节点是${A1,A3}$对应的样本。由于这次没有把特征$A$的取值完全分开，后面还有机会对子节点继续选择特征$A$划分$A1$和$A3$。这和$ID3、C4.5$不同，在$ID3$或$C4.5$的一颗子树中，离散特征只会参与一次节点的建立。
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预剪枝(提前停止)：控制深度、当前的节点数、分裂对测试集的准确度提升大小
- 限制树的高度，可以利用交叉验证选择
- 利用分类指标，如果下一次切分没有降低误差，则停止切分
- 限制树的节点个数，比如某个节点小于100个样本，停止对该节点切分
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后剪枝(自底而上)：生成决策树、交叉验证剪枝：子树删除，节点代替子树、测试集准确率判断决定剪枝
- 在决策树构建完成之后，根据加上正则项的结构风险最小化自下向上进行的剪枝操作. 剪枝的目的就是防止过拟合，是模型在测试数据上变现良好，更加鲁棒。
不是无用的，从两个角度考虑：
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特征替代性，如果可以已经使用的特征$A$和特征$B$可以提点特征$C$，特征$C$可能就没有被使用，但是如果把特征$C$单独拿出来进行训练，依然有效
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决策树的每一条路径就是计算条件概率的条件，前面的条件如果包含了后面的条件，只是这个条件在这棵树中是无用的，如果把这个条件拿出来也是可以帮助分析数据.
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优点:
- 简单直观，生成的决策树很直观。
- 基本不需要预处理，不需要提前归一化，处理缺失值。
- 既可以处理离散值也可以处理连续值。很多算法只是专注于离散值或者连续值。
- 可以处理多维度输出的分类问题。
- 相比于神经网络之类的黑盒分类模型，决策树在逻辑上可以得到很好的解释
- 可以交叉验证的剪枝来选择模型，从而提高泛化能力。
- 对于异常点的容错能力好，健壮性高。
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缺点:
- 决策树算法非常容易过拟合，导致泛化能力不强。可以通过设置节点最少样本数量和限制决策树深度来改进。
- 决策树会因为样本发生一点点的改动，就会导致树结构的剧烈改变。这个可以通过集成学习之类的方法解决。
- 寻找最优的决策树是一个NP难的问题，我们一般是通过启发式方法，容易陷入局部最优。可以通过集成学习之类的方法来改善。
- 有些比较复杂的关系，决策树很难学习，比如异或。这个就没有办法了，一般这种关系可以换神经网络分类方法来解决。
- 如果某些特征的样本比例过大，生成决策树容易偏向于这些特征。这个可以通过调节样本权重来改善。
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数值缩放不影响分裂点位置，对树模型的结构不造成影响。
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按照特征值进行排序的，排序的顺序不变，那么所属的分支以及分裂点就不会有不同。
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树模型是不能进行梯度下降的，因为构建树模型（回归树）寻找最优点时是通过寻找最优分裂点完成的，因此树模型是阶跃的，阶跃点是不可导的，并且求导没意义，也就不需要归一化。
不是无用的,从两个角度考虑：
一是特征替代性，如果可以已经使用的特征$A$和特征$B$可以提点特征$C$，特征$C$可能就没有被使用，但是如果把特征$C$单独拿出来进行训练，依然有效.
其二，决策树的每一条路径就是计算条件概率的条件，前面的条件如果包含了后面的条件，只是这个条件在这棵树中是无用的，如果把这个条件拿出来也是可以帮助分析数据。