tidystats_ordinal.Rmd

# 有序logistic回归 {#tidystats-ordinal}

本节课，是广义线性模型的延续

```{r ordinal-1, message = FALSE, warning = FALSE}
library(tidyverse)
```

## logistic回归

- **二元logistic回归**：Y为定类且为2个，比如是否购买(1购买；0不购买)
- **多分类logistic回归**：Y为定类且选项大于2个，比如总统候选人偏好(特朗普、希拉里、卢比奥)
- **有序logistic回归**：Y为定类且有序，幸福感(不幸福、比较幸福和非常幸福)



## 生活中的有序logistic回归

- 人们在肯德基里点餐，一般都会买可乐，可乐有四种型号(small, medium, large or extra large)，选择何种型号的可乐会与哪些因素有关呢？是否购买了汉堡、是否购买了薯条，消费者的年龄等。我们这里考察的被解释变量，可乐的大小就是一个有序的值。

- 问卷调查。问大三的学生是否申请读研究生，有三个选项：1不愿意，2有点愿意，3非常愿意。那么这里的被解释变量是三个有序的类别，影响读研意愿的因素可能与父母的教育水平、本科阶段学习成绩、经济压力等有关。




## 案例

教育代际传递。通俗点说子女的教育程度是否受到父母教育程度的影响。我这个案例思路参考了南京大学池彪的《教育人力资本的代际传递研究》硕士论文，这篇文章思路很清晰，建议大家可以看看。根据文中提供的数据来源，我们下载2016年的中国家庭追踪调查数据[CFPS](http://www.isss.pku.edu.cn/cfps/)，并整理了部分数据。

```{r ordinal-2, echo=FALSE, out.width = "80%"}
knitr::include_graphics(path = "images/variables.png")
```


```{r ordinal-3}
tb <- readr::read_rds("./demo_data/cfps.rds")
head(tb)
```

```{r ordinal-4}
tb %>% count(edu)
tb %>% count(edu_f)
tb %>% count(edu_m)
```


为了方便处理，减少分类，我们将大专以及大专以上的都归为一类
```{r ordinal-5}
df <- tb %>%
  dplyr::mutate(
    across(
      starts_with("edu"),
      ~ case_when(
        . %in% c(5, 6, 7, 8) ~ 5,
        TRUE ~ .
      )
    )
  )
df
```
看起很复杂？那我写简单点


```{r ordinal-6}
tb %>%
  dplyr::mutate(
    across(
      starts_with("edu"),
      ~ if_else(. %in% c(5, 6, 7, 8), 5, .)
    )
  )
```



```{r ordinal-7}
df %>% count(edu)
df %>% count(edu_f)
df %>% count(edu_m)
```

## 问题的提出

问题的提出：

- 学历上父母是否门当户对？
- 父母的受教育程度对子女的受教育水平是正向影响？
- 父亲和母亲谁的影响大？
- 对男孩影响大？还是对女孩影响大？
- 以上情况城乡有无差异？


### 父母门当户对？

数据还是比较有意思的，我们来看看父母是否门当户对


多大比例选择门当户对?
```{r ordinal-8}
df
```

```{r ordinal-9}
df %>%
  dplyr::summarise(
    eq_n = sum(edu_m == edu_f),
    n = n()
  ) %>%
  dplyr::mutate(prop = eq_n / n)
```

```{r ordinal-10}
df %>%
  dplyr::count(edu_m, edu_f) %>%
  dplyr::group_by(edu_m) %>%
  dplyr::mutate(prop = n / sum(n)) %>%
  dplyr::ungroup()
```


```{r ordinal-11}
df %>%
  dplyr::count(edu_m, edu_f) %>%
  dplyr::group_by(edu_m) %>%
  dplyr::mutate(percent = n / sum(n)) %>%
  dplyr::select(-n) %>%
  tidyr::pivot_wider(
    names_from = edu_f,
    values_from = percent
  )
```







### 母亲的教育程度对子女的影响
```{r ordinal-12, fig.showtext= TRUE}
library(ggridges)
df %>%
  dplyr::mutate(
    across(edu_m, as.factor)
  ) %>%
  ggplot(aes(x = edu, y = edu_m)) +
  geom_density_ridges() +
  scale_x_continuous(limits = c(0, 6), breaks = c(1:5)) +
  labs(
    title = "The influence of mother's education on children in the family",
    subtitle = "The greater the number, the higher the level of education",
    x = "Education level of children",
    y = "Education level of Mother"
  )
```






### 父亲和母亲谁的影响大

这里需要用到**有序logistic回归**。
为了理解模型的输出，我们需要先简单介绍下模型的含义。假定被解释变量$Y$有$J$类且有序，那么$Y$ 小于等于某个具体类别$j$的累积概率，可以写为$P(Y \le j)$，这里$j = 1, \cdots, J-1$. 

从而，小于等于某个具体类别$j$的**比率**就可以定义为


$$\frac{P(Y \le j)}{P(Y>j)}$$
对这个比率取对数，就是我们熟知的logit

$$log \frac{P(Y \le j)}{P(Y>j)} = logit (P(Y \le j)).$$

，有序logistic回归的数学模型就是

$$logit (P(Y \le j)) = \alpha_{j} + \beta_{1}x_1 + \beta_{2}x_2 $$
$\alpha$ 是截距 $\beta$ 是回归系数，注意到有序分类 logistic 回归模型中就有 $J-1$ 个 logit 模型。对于每个模型，系数是相同的，截距不同。




在R语言中，我们可以使用`MASS::polr`函数，但需要注意的是，使用这个函数，对应的模型表达式为^[感谢@huanfachen指出我之前的错误]，斜率符号写为负号

$$logit (P(Y \le j)) = \alpha_{j} - \beta_{1}x_1 - \beta_{2}x_2 $$


下面我们通过代码来演示


```{r ordinal-13}
library(MASS)
df1 <- df %>%
  dplyr::mutate(
    across(c(edu, sex, urban), as.factor),
    across(edu, ~ fct_inseq(., ordered = TRUE))
  )

mod_mass <- polr(edu ~ edu_f + edu_m + sex + num_siblings + urban,
  data = df1,
  method = c("logistic")
)

summary(mod_mass)
```


输出结果得到有序分类 logistic 回归模型中截距和回归系数的最大似然估计值，确定出回归方程为：



$$
\begin{aligned}
\text{logit}(\hat{P}(Y \le 1))&= \text{logit}\left(p_{1}\right) = \ln \left(\frac{p_{1}}{1 - p_{1}}\right) =  -0.8385 - 0.46 \times \text{edu_f} - 0.51 \times\text{edu_m}  -(-0.46)\times\text{sex1} -(-0.15)\times \text{num_siblings} -0.96 \times\text{urban1} \\ 
\text{logit}(\hat{P}(Y \le 2))&= \text{logit}\left(p_{1} + p_{2}\right) = \ln \left(\frac{p_{1} + p_{2}}{1 - p_{1} - p_{2}}\right) =  0.6742 - 0.46 \times \text{edu_f} - 0.51 \times\text{edu_m}  -(-0.46)\times\text{sex1} -(-0.15)\times \text{num_siblings} -0.96 \times\text{urban1} \\ 
\text{logit}(\hat{P}(Y \le 3))&= \text{logit}\left(p_{1} + p_{2} + p_{3}\right) = \ln \left(\frac{p_{1} + p_{2} + p_{3}}{1 - p_{1} - p_{2} - p_{3}}\right) =  2.5093 - 0.46 \times \text{edu_f} - 0.51 \times\text{edu_m}  -(-0.46)\times\text{sex1} -(-0.15)\times \text{num_siblings} -0.96 \times\text{urban1}\\ 
\text{logit}(\hat{P}(Y \le 4))&= \text{logit}\left(p_{1} + p_{2} + p_{3} + p_{4}\right) = \ln \left(\frac{p_{1} + p_{2} + p_{3} + p_{4}}{1 - p_{1} - p_{2} - p_{3} - p_{4}}\right) = 3.5454 - 0.46 \times \text{edu_f} - 0.51 \times\text{edu_m}  -(-0.46)\times\text{sex1} -(-0.15)\times \text{num_siblings} -0.96 \times\text{urban1}\\ 
\end{aligned}
$$



<!-- 写起很麻烦，偷个懒吧 -->

```{r ordinal-14, eval=FALSE, echo=FALSE}
library(equatiomatic)
extract_eq(mod_mass, use_coefs = TRUE)
```







### 系数的解释

关于系数的解释，推荐您阅读[这里](https://stats.idre.ucla.edu/r/faq/ologit-coefficients/)。

先将系数转换成odds ratios(OR)

```{r ordinal-15}
coef(mod_mass) %>% exp()
```

- 在其它因素不变的情况下，父亲教育程度每增加一个等级（比如，大专到本科），
  会增加子女教育程度向上提高一个级别的概率1.58倍，也就是增加了58%。
- 在其它因素不变的情况下，母亲教育程度每提高一个等级，会增加提升子女教育水平的概率1.66倍.
- 从子女的性别差异来看, 在其它因素不变的情况下，女性的受教育水平向上提高一个级别的概率更大，是男性的(1/0.630)倍，或者说，男性受教育水平向上提高一个级别的概率比女性减少37%(1 - 0.63).
- 从城乡差异来看，城镇子女提升教育水平的概率是农村的2.6倍


### 边际效应

```{r ordinal-16, message=FALSE, warning=FALSE}
library(margins)
# me_mass <- marginal_effects(mod_mass, variables = "sex")
me_mass <- marginal_effects(mod_mass, variables = "edu_m")
me_mass %>% 
  head()
```


从边际效应图可以看到，随着父母教育程度的增加，子女低学历的的概率减少，高学历的概率增加



## 其他宏包

### ordinal 包

```{r ordinal-17}
library(ordinal)
mod_ordinal <- clm(edu ~ edu_f + edu_m + sex + num_siblings + urban,
  data = df1,
  link = "logit",
  thresholds = "flexible"
)

broom::tidy(mod_ordinal)
```





<!-- ### 贝叶斯框架 -->

<!-- ```{r message=TRUE, warning=TRUE, include=FALSE} -->
<!-- library(brms) -->
<!-- df1 <- df %>%  -->
<!--   mutate( -->
<!--     across(c(edu, sex, urban), as.factor),  -->
<!--     across(edu, ~fct_inseq(., ordered = TRUE)) -->
<!--     )   -->

<!-- mod_brms1 <- brm(edu ~ edu_f + edu_m + sex + num_siblings + urban, -->
<!--                 data = df1,   -->
<!--                 family = cumulative(link = "logit") -->
<!--                ) -->
<!-- ``` -->


<!-- ```{r} -->
<!-- mod_brms1 -->
<!-- ``` -->


<!-- ```{r, } -->
<!-- conditions <- data.frame(edu = 1:5) -->
<!-- brms::conditional_effects(mod_brms1,  -->
<!--                           effects = "edu_m",  -->
<!--                           conditions = conditions, -->
<!--                           categorical = TRUE) -->

<!-- ``` -->


<!-- ```{r} -->
<!-- brms::conditional_effects(mod_brms1, effects = "edu_m", categorical = TRUE) -->
<!-- ``` -->




<!-- ## 后续 -->
<!-- 个人感觉这个问题似乎没那么简单，我还需要继续看文档。 -->

<!-- ### 父母教育程度变为因子 -->

<!-- 如果把父母的教育程度也设定为离散值 -->
<!-- ```{r} -->
<!-- library(MASS) -->
<!-- df2 <- df %>%  -->
<!--   mutate( -->
<!--     across(c(edu, sex, urban, edu_f, edu_m), as.factor),  -->
<!--     across(edu, ~fct_inseq(., ordered = TRUE)) -->
<!--     )   -->

<!-- mod_mass2 <- polr(edu ~ edu_f + edu_m + sex + num_siblings + urban,  -->
<!--                  data = df2,  -->
<!--                  method = c("logistic") -->
<!--                  ) -->

<!-- summary(mod_mass2) -->
<!-- ``` -->


<!-- ```{r message=FALSE, warning=FALSE} -->
<!-- margins::marginal_effects(mod_mass2, variables = "edu_m") -->
<!-- ``` -->




<!-- ```{r message=TRUE, warning=TRUE, include=FALSE} -->
<!-- library(brms) -->
<!-- mod_brms2 <- brm(edu ~ edu_f + edu_m + sex + num_siblings + urban, -->
<!--                 data = df2,   -->
<!--                 family = cumulative(link = "logit") -->
<!--                ) -->
<!-- ``` -->

<!-- ```{r} -->
<!-- mod_brms2 -->
<!-- ``` -->


<!-- ```{r} -->
<!-- brms::conditional_effects(mod_brms2, effects = "edu_m", categorical = TRUE) -->
<!-- ``` -->


<!-- ### 类型指定效应 -->

<!-- category specific effects -->
<!-- ```{r} -->
<!-- mod_brms3 <- brm( -->
<!--   edu ~ edu_f + edu_m + cs(sex) + num_siblings + urban, -->
<!--   data = df2, -->
<!--   family = sratio("logit") -->
<!-- ) -->
<!-- ``` -->


<!-- ```{r} -->
<!-- summary(mod_brms3) -->
<!-- ``` -->



<!-- ```{r} -->
<!-- brms::conditional_effects(mod_brms3, "edu_m", categorical = TRUE) -->
<!-- ``` -->

<!-- ## 符合实际的模型 -->

<!-- 子女教育程度是sequential过程 -->




<!-- ```{r} -->
<!-- library(brms) -->
<!-- df3 <- df %>%  -->
<!--   mutate( -->
<!--     across(c(edu, sex, urban), as.factor),  -->
<!--     across(edu, ~fct_inseq(., ordered = TRUE)) -->
<!--     )   -->

<!-- mod_brms3 <- brm( -->
<!--   edu ~ edu_f + edu_m + cs(sex) + num_siblings + urban, -->
<!--   data = df3, -->
<!--   family = sratio("logit") -->
<!-- ) -->
<!-- ``` -->


<!-- ```{r} -->
<!-- mod_brms1 -->
<!-- ``` -->


<!-- ```{r} -->
<!-- mod_brms3 -->
<!-- ``` -->



<!-- ```{r} -->
<!-- brms::conditional_effects(mod_brms3, effects = "edu_m", categorical = TRUE) -->
<!-- ``` -->


<!-- 父母教育程度的提高，子女高学历的增多，低学历的减少 -->

<!-- ```{r} -->
<!-- brms::conditional_effects(mod_brms3, effects = "sex", categorical = TRUE) -->
<!-- ``` -->
<!-- 之前我们假定子女性别在子女受教育程度中的影响时等同的，事实上，在这种假设也有不完全正确，性别在子女不同等级的教育程度中的影响是不一样的，比如初等教育，性别没有差异，而到了高等教育，性别的差异就明显了。也就说，性别在子女教育不同等级上的影响(系数)是不同。 -->


<!-- ```{r} -->
<!-- library(brms) -->
<!-- df4 <- df %>%  -->
<!--   mutate( -->
<!--     across(c(edu, sex, urban), as.factor),  -->
<!--     across(edu, ~fct_inseq(., ordered = TRUE)) -->
<!--     )   -->

<!-- mod_brms4 <- brm( -->
<!--   edu ~ edu_f + edu_m + sex + num_siblings + urban, -->
<!--   data = df4, -->
<!--   family = sratio("cloglog") -->
<!-- ) -->
<!-- ``` -->


<!-- ```{r} -->
<!-- brms::conditional_effects(mod_brms4, effects = "sex", categorical = TRUE) -->
<!-- ``` -->


<!-- - 男孩获得较低层次教育的概率要比女还大 -->
<!-- - 女孩获得较高层次教育的概率要比男还大 -->

<!-- ## 模型比较 -->
<!-- ```{r} -->
<!-- #brms::loo(mod_brms1, mod_brms2, mod_brms3, mod_brms4) -->
<!-- brms::loo(mod_brms1, mod_brms3, mod_brms4) -->
<!-- ``` -->




```{r ordinal-18, echo = F}
# remove the objects
# rm(list=ls())
rm(df, df1, me_mass, mod_mass, mod_ordinal, tb)
```

```{r ordinal-19, echo = F, message = F, warning = F, results = "hide"}
pacman::p_unload(pacman::p_loaded(), character.only = TRUE)
```