0172-Factorial-Trailing-Zeroes.md

# LeetCode第 172 号问题：阶乘后的零

> 本文首发于公众号「图解面试算法」，是 [图解 LeetCode ](<https://github.com/MisterBooo/LeetCodeAnimation>) 系列文章之一。
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题目来源于 LeetCode 上第 172 号问题：阶乘后的零。题目难度为 Easy，目前通过率为 38.0% 。

### 题目描述

给定一个整数 *n*，返回 *n*! 结果尾数中零的数量。

**示例 1:**

```
输入: 3
输出: 0
解释: 3! = 6, 尾数中没有零。
```

**示例 2:**

```
输入: 5
输出: 1
解释: 5! = 120, 尾数中有 1 个零.
```

**说明:** 你算法的时间复杂度应为 *O*(log *n*) 。

### 题目解析

题目很好理解，数阶乘后的数字末尾有多少个零。

最简单粗暴的方法就是先乘完再说，然后一个一个数。

事实上，你在使用暴力破解法的过程中就能发现规律： **这 9 个数字中只有 2（它的倍数） 与 5 （它的倍数）相乘才有 0 出现**。

所以，现在问题就变成了这个阶乘数中能配 **多少对 2 与 5**。

举个复杂点的例子：

 ` 10！ = 【 2 *（ 2 * 2 ）* 5 *（ 2 * 3 ）*（ 2 * 2 * 2 ）*（ 2 * 5）】`

在 10！这个阶乘数中可以匹配两对 2 * 5 ，所以10！末尾有 2 个 0。

可以发现，一个数字进行拆分后 2 的个数肯定是大于 5 的个数的，所以能匹配多少对取决于 5 的个数。（好比现在男女比例悬殊，最多能有多少对异性情侣取决于女生的多少）。

那么问题又变成了 **统计阶乘数里有多少个 5 这个因子**。

需要注意的是，像 25，125 这样的不只含有一个 5 的数字的情况需要考虑进去。

比如 `n = 15`。那么在 `15!` 中 有 `3` 个 `5` (来自其中的`5`, `10`, `15`)， 所以计算 `n/5` 就可以 。

但是比如 `n=25`，依旧计算 `n/5` ，可以得到 `5` 个`5`，分别来自其中的`5, 10, 15, 20, 25`，但是在 `25` 中其实是包含 `2 `个 `5` 的，这一点需要注意。

所以除了计算 `n/5` ， 还要计算 `n/5/5 ,  n/5/5/5 , n/5/5/5/5 , ..., n/5/5/5,,,/5`直到商为0，然后求和即可。

### 代码实现

```java
public class Solution {
    public int trailingZeroes(int n) {
        return n == 0 ? 0 : n / 5 + trailingZeroes(n / 5);
    }
}
```



![](../../Pictures/qrcode.jpg)