seminar12.tex.qq

\documentclass[a4paper,12pt]{article}
% \usepackage[utf8]{inputenc}
% \usepackage{amsmath}
% \usepackage{amsthm}
% \usepackage{amsfonts}
% \usepackage[T1,T2A]{fontenc}
% \usepackage[russian]{babel}

% autocompile publish
\usepackage{math-hse}
\usepackage{multicol}
% \theoremstyle{definition}
%\newtheorem{problem}{Задача}
% \renewcommand{\comment}[1]{\emph{#1}}
\newcommand{\GCD}{\text{НОД}}
\newcommand{\bbR}{\mathbb R}
\newcommand{\bbN}{\mathbb N}
\title{Семинар 12}
\date{11 октября 2019}
\begin{document}
\problem
    Пользуясь определением предела по Гейне, докажите, что предела не
    существует.
    \items \multicols 2
        \item
            \eq
                \lim_{x\to +\infty} \sin x;
        \item \homework
            \eq
                \lim_{x\to +\infty} \exp x.
\problem
    Пользуясь арифметикой пределов (если она применима) или определенем (по Коши
    или по Гейне) найти пределы (если предел равен бесконечности, плюс
    бесконечности или минус бесконечности, докажите это)
    \items\multicols 2
        \item \eq \lim\limits_{x\to \infty} \frac{x^2+9}{x^2-9};
        \item \eq \lim\limits_{x\to 3} \frac{x^2+9}{x^2-9};
        \item \homework
            \eq \lim\limits_{x\to -3} \frac{x^2+9}{x^2-9};
        \item \eq \lim\limits_{x\to -\infty} 2^x;
        \item \eq \lim\limits_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x^2};
        \item \eq \lim\limits_{x\to -\infty} \frac{e^x}{x^2};
        \item \eq \lim\limits_{x\to -\infty} x^2 e^x;
        \item \eq \lim\limits_{x\to 0^+} e^{1/x};
        \item \eq \lim\limits_{x\to 0^-} e^{1/x};
        \item \eq \lim\limits_{x\to 0^-} x e^{1/x};
        \item \homework
            \eq \lim\limits_{x\to 0^-} x^2 e^{1/x};
\problem
    Найти естественную область определения функции, заданной формулой. (То есть
    множество всех $x$, при которых выражение, заданное формулой, определено.)
    Найти все вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты. Построить
    эскиз графика.
    \comment
        Является ли функция ограниченной?
        Найти все точки разрывов, установить их тип (скачок, устранимый разрыв,
        полюс, существенный разрыв). Существуют ли такие точки, что функцию можно в
        этой точке до- или переопределить и сделать таким образом непрерывной в этой
        точке? 
    \items \multicols 3
        \item 
            \eq
                \frac{x+2}{x^2-1}
        \item \homework
            \eq
                \frac{x+2}{x^2+1}
        \item
            \eq
                \frac{x^2-1}{x-4}
        \item
            \eq
                \frac{x^2-1}{x-1}
        \item \homework
            \eq
                \frac{2x^2-1}{x^2-4}
        \comment
            \item
                \eq
                    \sqrt{x^2-1}

            \item \homework
                \eq
                    \sqrt{x^2+1}
        \item
            \eq
                \sqrt{\frac{x^4-1}{x+1}}
        \item
            \eq
                \frac{\sin x}{x}
        \vskip 0.3em
        \item
            \eq
                \frac{1}{\sin{\frac{1}{x}}}
        \vskip 0.3em
        \item
            \eq
                \frac{\sin\frac{1}{x}}{x}
        \item
            \eq
                x \sin \frac{1}{x}
        \item
            \eq
                x + \sin x
        \item
            \eq
                x + \frac{\sin x}{x}
        \item
            \eq
                \tg x
        \item \homework
            \eq
                x\sin x
        \item
            \eq
                e^{\frac{1}{x}}
        \item
            \eq
                e^{\frac{1}{x^2}}
        \item
            \eq
                e^{-\frac{1}{x^2}}
        \item
            \eq
                \begin{cases}
                    1,& x \in \mathbb Q\\\\
                    0,& x \not \in \mathbb Q
                \end{cases}
        \item
            \eq
                \begin{cases}
                    x,& x \in \mathbb Q\\\\
                    0,& x \not \in \mathbb Q
                \end{cases}
        \item
            \eq
                \frac{|x|}{x}
        \vskip 0.3em
        \item
            \eq
                \frac{x^3+3^{x}}{x^2+2^x}
        \item \homework
            \eq
                \frac{x^2-2^{x}}{x^2+3^x}
        \item \homework
            \eq
                \frac{2^x-3^{-x}}{3^x+2^{-x}}
        \item \homework
            \eq
                \frac{x+\sin x}{x^2+1}
                
\problem
    Докажите, что
    \eq
        \lim_{x \to 0} \exp x = 1.
    \textbf{Подсказка.} Воспользуйтесь представлением $\exp x =
    \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$.

\problem \homework
    Докажите, что
    \eq
        \lim_{x \to x_0} \exp x=\exp x_0.
    \textbf{Подсказка.} Воспользуйтесь тем фактом, что
    $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$ и предыдущей задачей.

\problem \homework
    Пользуясь определением предела (по Коши или по Гейне) докажите, что для
    всякого $x_0>0$,
    \eq
        \lim_{x\to x_0} \sqrt{x}=\sqrt{x_0}.
\problem \homework
    Студент K. записал определение предела функции следующим образом:
    $$\lim_{x\to x_0} f(x)=a \Leftrightarrow (\forall \eps > 0 \exists \delta >
    0\forall x\colon |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-a|<\eps).$$
    В этом определении есть ошибка (найдите её). Что вы можете сказать про
    функцию, которая «имеет предел» согласно определению студента K.?

\end{document}