- 代數學 ● 是研究《加減乘除》等數學結構 的學問！
- 加減乘除 ● 通常會運作在《數》的上面！ ● 像是：整數 N 、有理數 Q 、實數 R 、 複數 C 等等 ...
- 如果我們把焦點 ● 只放在一個運算上面，像是 –《加法》
- 那麼我們會看到 ● 《加法運算》具有某些《代數特性》！
- 像是實數的加法、就具有 ● 封閉性 ： a+b 也是實數 ● 結合性 ： (a+b)+c=a+(b+c) ● 單位元素： a+0 = 0+a = a ● 反元素 ： a+(-a) = (-a)+a = 0 ● 交換性 ： a+b = b+a
- 這種單一運算的特性 ● 會形成《群論》中的那些結構，像是： – 群、交換群、半群、么半群 – 原群、擬群、么擬群 – 李群、廣群、拓樸群、 ...
- 這麼多種類的群 ● 通常是由《封閉、結合、交換、單位元 素、反元素》當中某些性質形成的！
- 假如我們把群的概念數學化 ● 就可以用一個集合 S 加上一個運 算。表示 ● 也就是 G = (S, 。 )
- 像是具有下列四項特性者稱為 《群 Group 》 ● 封閉性： (a 。 b) in S ● 結合性： (a 。 b) 。 c=a 。 (b 。 c) ● 單位元素： a 。 e = e 。 a = a ● 反元素： a 。 a-1 = a-1 。 a = a
- 然後只有前兩項者稱為 SemiGroup ( 半群 ) ● 封閉性： (a 。 b) in S ● 結合性： (a 。 b) 。 c=a 。 (b 。 c) ● 單位元素： a 。 e = e 。 a = a ● 反元素： a 。 a-1 = a-1 。 a = a
- 有《單位元素》的半群稱為 Monoid ( 么半群 ) ● 封閉性： (a 。 b) in S ● 結合性： (a 。 b) 。 c=a 。 (b 。 c) ● 單位元素： a 。 e = e 。 a = a ● 反元素： a 。 a-1 = a-1 。 a = a
- 四者均有者當然還是 Group ( 群 ) ● 封閉性： (a 。 b) in S ● 結合性： (a 。 b) 。 c=a 。 (b 。 c) ● 單位元素： a 。 e = e 。 a = a ● 反元素： a 。 a-1 = a-1 。 a = a
- 再加上《交換律》者稱為 Abelian Group ( 交換群，阿貝爾群 ) ● 封閉性： (a 。 b) in S ● 結合性： (a 。 b) 。 c=a 。 (b 。 c) ● 單位元素： a 。 e = e 。 a = a ● 反元素： a 。 a-1 = a-1 。 a = a ● 交換性： a 。 b = b 。 a
- 現在、我們已經瞭解了 ● 群論的基本分類了！ – 群： Group – 半群： Semi Group – 么半群： Monoid – 交換群： Abelian Group
- 如果我們把《結合律》從群中拿掉 ● 就會得到《環群》 Loop
- 而且《沒結合律的那些群》 也都有自己的名字 半群 https://en.wikipedia.org/wiki/Quasigroup
- 您或許會注意到最上面那個《原群》 ● 那是《一個集合》加上《具有封閉性的運算》！ 半群
- 所以您可以看到 ●數學其實是很有系統的！