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1691. 堆叠长方体的最大高度

English Version

题目描述

给你 n 个长方体 cuboids ，其中第 i 个长方体的长宽高表示为 cuboids[i] = [widthi, lengthi, heighti]（下标从 0 开始）。请你从 cuboids 选出一个 子集 ，并将它们堆叠起来。

如果 widthi <= widthj 且 lengthi <= lengthj 且 heighti <= heightj ，你就可以将长方体 i 堆叠在长方体 j 上。你可以通过旋转把长方体的长宽高重新排列，以将它放在另一个长方体上。

返回 堆叠长方体 cuboids 可以得到的 最大高度 。

 

示例 1：

输入：cuboids = [[50,45,20],[95,37,53],[45,23,12]]
输出：190
解释：
第 1 个长方体放在底部，53x37 的一面朝下，高度为 95 。
第 0 个长方体放在中间，45x20 的一面朝下，高度为 50 。
第 2 个长方体放在上面，23x12 的一面朝下，高度为 45 。
总高度是 95 + 50 + 45 = 190 。

示例 2：

输入：cuboids = [[38,25,45],[76,35,3]]
输出：76
解释：
无法将任何长方体放在另一个上面。
选择第 1 个长方体然后旋转它，使 35x3 的一面朝下，其高度为 76 。

示例 3：

输入：cuboids = [[7,11,17],[7,17,11],[11,7,17],[11,17,7],[17,7,11],[17,11,7]]
输出：102
解释：
重新排列长方体后，可以看到所有长方体的尺寸都相同。
你可以把 11x7 的一面朝下，这样它们的高度就是 17 。
堆叠长方体的最大高度为 6 * 17 = 102 。

 

提示：

  • n == cuboids.length
  • 1 <= n <= 100
  • 1 <= widthi, lengthi, heighti <= 100

解法

考虑两个长方体，假设其三边分别是 (a1, b1, c2) 和 (a2, b2, c2)。这里不妨设 a1≤b1≤c1, a2≤b2≤c2。我们可以发现，假设两个长方体能够拼接到一起（假设第一个长方体较小），则必然有：a1≤a2, b1≤b2, c1≤c2。

直观上我们可以发现，如果两个长方体能够拼接到一起，则他们可以从任何一个面进行拼接。本题允许我们任意旋转长方体，看起来情况比较复杂，需要讨论 6 种排列情况，但实际上，因为我们希望高度尽可能高，所以根据上面的观察，我们应该选择从较短的两条边组成的面进行拼接。

因此，我们进行两次排序：

  1. 将每个长方体的三条边按升序排列；
  2. 将每个长方体升序排列。

之后，问题转换为最长上升子序列问题。对于第 i 个长方体，我们依次考虑第 [1...i-1] 个长方体，看能否将第 i 个长方体拼接在它的下方，然后更新当前的最大值。

时间复杂度 $O(n^2)$。

Python3

class Solution:
    def maxHeight(self, cuboids: List[List[int]]) -> int:
        for c in cuboids:
            c.sort()
        cuboids.sort()
        n = len(cuboids)
        dp = [0] * n
        for i in range(n):
            for j in range(i):
                if cuboids[j][1] <= cuboids[i][1] and cuboids[j][2] <= cuboids[i][2]:
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j])
            dp[i] += cuboids[i][2]
        return max(dp)

Java

class Solution {
    public int maxHeight(int[][] cuboids) {
        for (int[] c : cuboids) {
            Arrays.sort(c);
        }
        Arrays.sort(cuboids, (a, b) -> {
            if (a[0] != b[0]) {
                return a[0] - b[0];
            }
            if (a[1] != b[1]) {
                return a[1] - b[1];
            }
            return a[2] - b[2];
        });
        int n = cuboids.length;
        int[] dp = new int[n];
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                if (cuboids[j][1] <= cuboids[i][1] && cuboids[j][2] <= cuboids[i][2]) {
                    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j]);
                }
            }
            dp[i] += cuboids[i][2];
            ans = Math.max(ans, dp[i]);
        }
        return ans;
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int maxHeight(vector<vector<int>>& cuboids) {
        for (auto& c : cuboids) sort(c.begin(), c.end());
        sort(cuboids.begin(), cuboids.end());
        int n = cuboids.size();
        vector<int> dp(n);
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                if (cuboids[j][1] <= cuboids[i][1] && cuboids[j][2] <= cuboids[i][2]) {
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j]);
                }
            }
            dp[i] += cuboids[i][2];
            ans = max(ans, dp[i]);
        }
        return ans;
    }
};

Go

func maxHeight(cuboids [][]int) int {
	for _, c := range cuboids {
		sort.Ints(c)
	}
	sort.Slice(cuboids, func(i, j int) bool {
		if cuboids[i][0] != cuboids[j][0] {
			return cuboids[i][0] < cuboids[j][0]
		}
		if cuboids[i][1] != cuboids[j][1] {
			return cuboids[i][1] < cuboids[j][1]
		}
		return cuboids[i][2] < cuboids[j][2]
	})
	n := len(cuboids)
	dp := make([]int, n)
	ans := 0
	for i := 0; i < n; i++ {
		for j := 0; j < i; j++ {
			if cuboids[j][1] <= cuboids[i][1] && cuboids[j][2] <= cuboids[i][2] {
				dp[i] = max(dp[i], dp[j])
			}
		}
		dp[i] += cuboids[i][2]
		ans = max(ans, dp[i])
	}
	return ans
}

func max(a, b int) int {
	if a > b {
		return a
	}
	return b
}

...