seminar11.tex.qq

\documentclass[a4paper,12pt]{article}
% \usepackage[utf8]{inputenc}
% \usepackage{amsmath}
% \usepackage{amsthm}
% \usepackage{amsfonts}
% \usepackage[T1,T2A]{fontenc}
% \usepackage[russian]{babel}

% autocompile publish
\usepackage{math-hse}
\usepackage{multicol}
% \theoremstyle{definition}
%\newtheorem{problem}{Задача}
% \renewcommand{\comment}[1]{\emph{#1}}
\newcommand{\GCD}{\text{НОД}}
\newcommand{\bbR}{\mathbb R}
\newcommand{\bbN}{\mathbb N}
\title{Семинар 11}
\date{11 октября 2019}
\begin{document}
\problem
    Построить график функции и найти пределы, или доказать, что они не
    существуют
    $$f(x)=\begin{cases}
        x^2, & x < 1 \\\\
        -x^2, & x \ge 1
    \end{cases}$$
    \items \multicols 4
        \item \eq \lim_{x\to -1} f(x)
        \item \eq \lim_{x\to 1} f(x)
        \item \eq \lim_{x\to 1^+} f(x)
        \item \homework 
            \eq \lim_{x\to 1^-} f(x)
\problem
    При каком значении параметра $\alpha$ существует предел
    функции 
    $$f(x)=\begin{cases}
        \alpha x^2, & x > 2 \\\\
        5\alpha^2, & x = 2 \\\\
        x + 7, & x > 2
    \end{cases}$$
    при $x\to 2$?
\problem
    Приведите пример ограниченной функции, определённой на всей числовой прямой,
    имеющей в точке $0$ предел справа, но не имеющей предела слева.
\problem
    Пользуясь определением предела по Коши доказать утверждения арифметики
    пределов: если существует $\lim_{x \to a} f(x)$ и $\lim_{x\to a} g(x)$, то
    \items
        \item
            \eq \lim\limits_{x\to a} (f(x)+g(x)) = \lim\limits_{x\to a} f(x) +
                \lim\limits_{x \to a} g(x);
        \item \homework
            \eq \lim\limits_{x\to a} (f(x)\cdot g(x)) = \lim\limits_{x\to a}
                f(x)\cdot \lim\limits_{x \to a} g(x);
        \item \homework
            \eq \lim\limits_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} =
                \frac{\lim\limits_{x\to a} f(x)}{\lim\limits_{x \to a} g(x)}
            \ при условии, что $\lim_{x\to a} g(x)\ne 0$.
        \item \homework
            \eq \lim\limits_{x\to a} \sqrt{f(x)}=\sqrt{\lim\limits_{x\to
                    a}f(x)}
            \ при условии, что $\lim_{x\to a} f(x) \ge 0$.
\problem
    Пользуясь арифметикой пределов (если она применима) или определенем найти
    пределы
    \items\multicols 2
        \item \eq \lim\limits_{x \to 2} (x^4 + 3x^2 - x + 1);
        \item \homework
            \eq \lim\limits_{t \to -1} (t^2+1)^3(t+3)^5;
        \item \eq \lim\limits_{h \to 0}\frac{(4+h)^2-16}{h};
        \item \eq \lim\limits_{x \to -2}\frac{x+2}{x^3+8};
        \item \eq \lim\limits_{h \to 0} \frac{(2+h)^3-8}{h};
        \item  \homework
            \eq 
                \lim\limits_{t\to 0}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2+t}\right);
        \item \eq \lim\limits_{x\to -4} \frac{\sqrt{x^2+9}-5}{x+4}.
        \comment
            \item \eq \lim\limits_{x\to \infty} \frac{x^2+9}{x^2-9};
            \item \eq \lim\limits_{x\to 3} \frac{x^2+9}{x^2-9};
            \item \eq \lim\limits_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x^2};
            \item \eq \lim\limits_{x\to -\infty} \frac{e^x}{x^2};
            \item \eq \lim\limits_{x\to -\infty} x^2 e^x;
            \item \eq \lim\limits_{x\to 0^+} e^{1/x};
            \item \eq \lim\limits_{x\to 0^-} e^{1/x};
            \item \eq \lim\limits_{x\to 0^-} x^2 e^{1/x};
\problem
    Придумать и доказать теорему о двух миллиционерах для пределов
    функций.
\problem
    С помощью теоремы о двух миллиционерах доказать, что
    \eq
        \lim_{x\to 0} (x^2+5x)\sin\frac{1}{x^2}=0.
\problem \homework
    Докажите, что если функция $f$ ограничена в проколотой окрестности точки
    $x_0$ (то есть существует такая константа $C$ и такая проколотая окрестность
    точки $x_0$, что $|f(x)|<C$ для всех $x$ из этоу окрестности) и
    $\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=0$, то $\lim\limits_{x\to x_0} f(x) g(x)=0$.
\begin{definition}
    Точка $a$ называется \emph{предельной точкой} функции $f$ в точке $x_0$ если
    для всякого $\eps>0$ и всякой $\delta>0$ найдётся такая точка $x$, лежащая в
    проколотой $\delta$-окрестности $x_0$, что $f(x)$ лежит в $\eps$-окрестности точки $a$.
\end{definition}
\problem
    Докажите, что точка $a$ является предельной точкой функции $f$ в точке $x_0$
    тогда и только тогда, когда существует такая последовательность $\{x_n\}$,
    сходящаяся к $x_0$, $x_n\ne x_0$, что $f(x_n)$ сходится к $a$.
\problem \homework
    Докажите, что если ограниченная функция, определённая в левой
    полуокрестности некоторой точки, не имеет предела слева в этой точке, то её
    множество предельных точек в этой точке имеет более одного элемента.
\end{document}