LeetCode-51.N-Queens.md

LeetCode - 51. N-Queens(N皇后问题)

• 数组标记法
• 下标判断法

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题目链接

https://leetcode.com/problems/n-queens/

题目

1、数组标记法

• 这里使用三个数组分别标记那些不能访问的列，主对角线，和副对角线。注意cols[c] = true表示c列已经有了皇后；
• 而d1[]表示的是副对角线，拿8皇后来说，我们把n正方形划分成14根对角线，每个对角线上有一个值，就是这根对角线上任意一个点的x + y的值(从右上角到左下角)；
• 而d2[]表示的是主对角线，对于8皇后来说，也是划分成14根，不过对应关系是 id2 = x - y + (n-1)(从左下角到右上角)；
• 通过上面的对应关系，我们就可以用一个数组来存这个下标，看这个点通过(x + y)或者(x-y+(n-1))求出的下标上面是不是true，如果是，说明这根对角线上有皇后，所以不能放，否则可以放；

代码:

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;

class Solution {
    
    private int N;
    private boolean[] cols, d1, d2;
    private List<String> tmp;
    private List<List<String>> res; 
    
    public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
        res = new ArrayList<>();
        if (n == 0)
            return res;
        cols = new boolean[n];
        d1 = new boolean[n * 2 - 1];
        d2 = new boolean[n * 2 - 1];
        tmp = new ArrayList<>();
        N = n;
        
        dfs(0); 
        return res;
    }

    public void dfs(int r) {
        if (r == N) {
            res.add(new ArrayList<>(tmp));
            return;
        }
        for (int c = 0; c < N; c++) {  //考察每一列
            int id1 = c + r;    //主对角线
            int id2 = r - c + N - 1;//副对角线对应的　id值
            if (cols[c] || d1[id1] || d2[id2]) continue;
            cols[c] = d1[id1] = d2[id2] = true;
            char[] help = new char[N];    //每一个temp是一个解　而每一个temp中又有n行String
            Arrays.fill(help, '.');
            help[c] = 'Q';
            tmp.add(new String(help));
            dfs(r + 1);
            cols[c] = d1[id1] = d2[id2] = false;  //递归之后还原
            tmp.remove(tmp.size() - 1);     
        }
    }
}

或者改装一下，使用一个二维字符数组存储:

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;

class Solution {
    
    private int N;
    private boolean[] cols, d1, d2;
    private List<List<String>> res;
    private char[][] board;

    public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
        res = new ArrayList<>();
        if (n == 0)
            return res;
        cols = new boolean[n];
        d1 = new boolean[n * 2 - 1];
        d2 = new boolean[n * 2 - 1];
        N = n;

        board = new char[n][n];
        for (char[] row : board) 
            Arrays.fill(row, '.');

        dfs(0);
        return res;
    }

    public void dfs(int r) {
        if (r == N) {
            res.add(convert(board));
            return;
        }
        for (int c = 0; c < N; c++) {  //考察每一列
            int id1 = c + r;
            int id2 = r - c + N - 1;
            if (cols[c] || d1[id1] || d2[id2]) continue;

            cols[c] = d1[id1] = d2[id2] = true;
            board[r][c] = 'Q';

            dfs(r + 1);

            cols[c] = d1[id1] = d2[id2] = false;
            board[r][c] = '.';
        }
    }

    private List<String> convert(char[][] board) {
        List<String> ans = new ArrayList<>();
        for (char[] row : board)
            ans.add(new String(row));
        return ans;
    }
}

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2、下标判断法

这个就是通过下标对应关系:

• cols表示的意义和上面的不同，cols[i] = j，表示的是[i,j]上面放了一个皇后；
• 重点是判断我这一行和之前已经放置的所有行(0....r-1)的主副对角线充不冲突；
• 而判断这个的方式就是看看主对角线和父对角线之间的下标对应关系；
• 主对角线方向满足，行之差等于列之差：i-j　==　cols[i] - cols[j]；
• 副对角线方向满足， 行之差等于列之差的相反数：i-j　== cols[j]-cols[i]；

代码:

代码:

class Solution {
    public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
        List<List<String>> res = new ArrayList<>();
        if (n == 0)
            return res;
        dfs(0, n, new int[n], res); 
        return res;
    }

    public void dfs(int r, int n, int[] cols, List<List<String>> res) {
        if (r == n) {
            List<String> temp = new ArrayList<>();
            for (int i = 0; i < cols.length; i++) {
                char[] help = new char[n];
                Arrays.fill(help, '.');
                help[cols[i]] = 'Q';
                temp.add(new String(help));
            }
            res.add(temp);
            return;
        }
        for (int c = 0; c < n; c++) {  //考察每一列
            if (!isValid(cols, r, c))
                continue;
            cols[r] = c;  //第r行放在c列
            dfs(r + 1, n, cols, res);
        }
    }

    private boolean isValid(int[] cols, int r, int c) {
        for (int i = 0; i < r; i++)
            if (c == cols[i] || r - i == c - cols[i] || r - i == cols[i] - c) return false;
        return true;
    }
}