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312. 戳气球

English Version

题目描述

有 n 个气球，编号为0 到 n - 1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 nums 中。

现在要求你戳破所有的气球。戳破第 i 个气球，你可以获得 nums[i - 1] * nums[i] * nums[i + 1] 枚硬币。 这里的 i - 1 和 i + 1 代表和 i 相邻的两个气球的序号。如果 i - 1或 i + 1 超出了数组的边界，那么就当它是一个数字为 1 的气球。

求所能获得硬币的最大数量。

 

示例 1：

输入：nums = [3,1,5,8]
输出：167
解释：
nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> []
coins =  3*1*5    +   3*5*8   +  1*3*8  + 1*8*1 = 167

示例 2：

输入：nums = [1,5]
输出：10

 

提示：

• n == nums.length
• 1 <= n <= 300
• 0 <= nums[i] <= 100

解法

区间 DP。

• 状态表示：dp[i][j] 表示戳破区间 (i, j) 内所有气球获得的最大硬币数。
• 状态计算：枚举开区间 (i, j) 中以气球 k 作为最后戳破的气球。那么 dp[i][j] = max(dp[i][k] + dp[k][j] + nums[i] * nums[k] * nums[j]), k ∈ [i + 1, j)。

以区间长度 l 从小到大开始处理每个状态值。

Python3

class Solution:
    def maxCoins(self, nums: List[int]) -> int:
        nums = [1] + nums + [1]
        n = len(nums)
        dp = [[0] * n for _ in range(n)]
        for l in range(2, n):
            for i in range(n - l):
                j = i + l
                for k in range(i + 1, j):
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j] + nums[i] * nums[k] * nums[j])
        return dp[0][-1]

Java

class Solution {
    public int maxCoins(int[] nums) {
        int[] vals = new int[nums.length + 2];
        vals[0] = 1;
        vals[vals.length - 1] = 1;
        System.arraycopy(nums, 0, vals, 1, nums.length);
        int n = vals.length;
        int[][] dp = new int[n][n];
        for (int l = 2; l < n; ++l) {
            for (int i = 0; i + l < n; ++i) {
                int j = i + l;
                for (int k = i + 1; k < j; ++k) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j] + vals[i] * vals[k] * vals[j]);
                }
            }
        }
        return dp[0][n - 1];
    }
}

TypeScript

function maxCoins(nums: number[]): number {
    let n = nums.length;
    let dp = Array.from({ length: n + 1 }, v => new Array(n + 2).fill(0));
    nums.unshift(1);
    nums.push(1);
    for (let i = n - 1; i >= 0; --i) {
        for (let j = i + 2; j < n + 2; ++j) {
            for (let k = i + 1; k < j; ++k) {
                dp[i][j] = Math.max(
                    nums[i] * nums[k] * nums[j] + dp[i][k] + dp[k][j],
                    dp[i][j],
                );
            }
        }
    }
    return dp[0][n + 1];
}

C++

class Solution {
public:
    int maxCoins(vector<int>& nums) {
        nums.insert(nums.begin(), 1);
        nums.push_back(1);
        int n = nums.size();
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n));
        for (int l = 2; l < n; ++l)
        {
            for (int i = 0; i + l < n; ++i)
            {
                int j = i + l;
                for (int k = i + 1; k < j; ++k)
                {
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j] + nums[i] * nums[k] * nums[j]);
                }
            }
        }
        return dp[0][n - 1];
    }
};

Go

func maxCoins(nums []int) int {
	vals := make([]int, len(nums)+2)
	for i := 0; i < len(nums); i++ {
		vals[i+1] = nums[i]
	}
	n := len(vals)
	vals[0], vals[n-1] = 1, 1
	dp := make([][]int, n)
	for i := 0; i < n; i++ {
		dp[i] = make([]int, n)
	}
	for l := 2; l < n; l++ {
		for i := 0; i+l < n; i++ {
			j := i + l
			for k := i + 1; k < j; k++ {
				dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k][j]+vals[i]*vals[k]*vals[j])
			}
		}
	}
	return dp[0][n-1]
}

func max(a, b int) int {
	if a > b {
		return a
	}
	return b
}

...