Le compte-rendu (./CR.md) utilise le formalisme Markdown de Github.
- Renvoyez moi le fichier CR.md par email ([email protected]) aujourd'hui, mardi 11 septembre 2018. L'objectif est d'aller jusqu'à la fin de la question 1 de la partie 2.
- Indiquer [TP1.1] avec vos noms et prénom dans le sujet du mail
- Ne pas oublier de joindre aussi les fichiers (images par exemple) vers lesquelles le fichier .md pointe éventuellement.
*Il n'est pas nécessaire d'aller au bout des questions, les dernières questions ne sont là que pour les personnes qui sont déjà très à l'aise en programmation.*
- Ouvrir un compte sur la plateforme github.com (sauf si vous en avez déjà un).
- Cliquer sur le lien envoyé par email, puis accepter l'invitation sur votre compte github, ce qui doit créer une copie du dépôt git contenant les notes de cours et le TP1.
- Vous pouvez maintenant cloner le dépôt.
- Avant de travailler avec git, il faut configurer votre nom et adresse email avec git config –set user.name et git config –set user.email.
- Recopier le compte rendu écrit la semaine dernière dans le fichier CR.md du nouveau dépôt, puis valider les modifications (git add … et git commit -m …).
- Commencer le travail de la partie 2 ci-dessous. Pour répondre aux
questions, vous devez utiliser le fichier CR.md.
- Un objectif de la séance est que vous documentiez l'historique des fichiers que vous ajoutez ou modifiez, notamment le fichier CR.md (commandes git add et git commit).
N'oubliez pas de pousser (git push) votre travail sur le serveur à la fin de la séance. C'est de cette manière que nous allons récupérer votre travail et votre compte-rendu.
Pour travailler, notre environnement de travail sera constitué
- d'un terminal et
- d'un éditeur de texte qui vous soit familier.
Il s'agit du terminal par défaut de l'environnement du Cremi, et de emacs dans mon cas. Vous pouvez éventullement utiliser un environnement de travail intégré (IDE) dédié qui supporte git et python.
Note: concernant emacs, il est conseillé de le configurer dans le fichier
$HOME/.emacs. Vous trouverez un exemple de configuration ici: ./.emacs.
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Prenez le temps de choisir votre environnement de travail en explorant les différentes possibilités. Donner votre choix dans le compte-rendu, ./CR.md.
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Cloner le dépôt (commande
git clone), ceci créera un repertoire dans votre répertoire courant. Quel est le nom de ce répertoire ? -
Familiarisez vous avec le contenu du répertoire, qui devrait ressembler à :
cours/ ├── README.md └── tp1 ├── CR.md ├── README.md ├── img │ ├── ecran01.png └── src ├── data_types.py ├── hello_world.py ├── ...Quel est la nature (langage ?) et le rôle (texte, programme, autre) de chacun des fichiers présents ?
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À partir du programme existant, calculer le tableau des erreurs commises par la méthode d'Euler explicite pour l'équation y'(t) = 1-y avec y(0) = 5 pour t dans [0,1], en prenant des pas de temps h = 0.2 0.1 0.05 0.025 0.0125 0.00625.
Donner le tableau des valeurs et tracer le graphe de l'erreur en fonction de h en échelle logarithmique. Ce graphe est appelé graphe de convergence.
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Reproduire cette étude pour l'équation y'(t) = 1-y^2, dont on sait calculer une solution exacte. On prendra t dans [0,1] et y(0) = 0 puis y(0)=2.
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Reprendre l'analyse avec la méthode suivante (que l'on appelle méthode de Runge-Kutta 2 – RK2) à la place de la méthode d'Euler: y_{n+1} = y_n + h*f(t_n+0.5*h,y_n+0.5*f(y_n)). Tracer les graphes de convergence des 2 méthodes sur la même figure (en échelle logarithmique). Quel commentaire peut-on faire ?
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Reprendre l'analyse avec la méthode y_{n+1} = y_{n-1} + 2*h*f(t_n,y_n), appelée méthode du point milieu ou méthode saute-mouton. On calculera y_1 par la méthode RK2.
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On souhaite utiliser la méthode y_{n+1} = y_n + 0.5*h*( f(t_n,y_n) + f(t_{n+1},y_{n+1}), appelée méthode du trapèze. Il faut donc résoudre une équation non linéaire.
Pour cela, on peut calculer y_{n+1} comme la limite de la suite itérative y_{n+1,p+1} = y_n + 0.5*h*( f(t_n,y_n) + f(t_{n+1},y_{n+1,p}) avec par exemple y_{n+1,0} calculé par la méthode d'Euler explicite. En pratique, on s'aperçoit qu'il est possible de ne faire qu'une seule itération de cette suite. On tombe alors sur la méthode suivante, dite de prédiction-correction: y_* = y_n + h*f(t_n,y_n) [prédiction], puis y_{n+1} = y_n + 0.5*h*( f(t_n,y_n) + f(t_{n+1},y_*) ) [correction].
On peut aussi utiliser la méthode de Newton (par exemple telle qu'elle existe dans le module
scipy.optimize) pour calculer une approximation de la solution précise de l'équation non-linéaire initiale.Programmer ces deux méthodes et les tester sur l'équation de la question 2. Refaire les graphes de convergence et comparer avec les méthodes précédentes.
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Nous disposons maintenant de 4 méthodes (si l'on ne conserve que la verzsion prédiction-ocrrection de la question 5). Dans cette question nous souhaitons les comparer pour la résolution de l'équation y'(t) = a*y(t) + (1-a)*cos(t) - (1+a)*sin(t), avec y(0)=1. Quel que soit a, la solution exacte de ce problème de Cauchy est y(t) = sin(t)+cos(t).
Comparer les erreurs commise par les différentes méthodes pour a=-1, -10, -50 avec h=0.5, 0.1, 0.01 et en cherchant une solution approchée sur [0,5].
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On souhaite maintenant pouvoir résoudre des systèmes d'équations différentielles, c'est à dire que y peut être un vecteur de dimension finie m d'inconnues, et f(t,y) une fonction de RxR^m dans R^m. Transformer le module src/methodes.py de telle sorte que chaque méthode programmée puisse prendre en entrée une telle fonction, et renvoyer un tableau solution de taille m x (1+N) (où N est le nombre de pas de temps).
Tester votre module en vérifiant la résolution du système linéaire y' = Ay avec A = diag(-1,-2), dont la solution exacte est y(t) = exp(At)*y(0). On prendre par exemple y(0)=(1,1) et T=1.