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@@ -19,8 +19,8 @@
   - [第一步：打好基础](#第一步打好基础)
   - [第二步：各章节知识点DLC](#第二步各章节知识点dlc)
     - [1️⃣第一章 函数、极限、连续](#1️⃣第一章-函数极限连续)
-      - [🌟**Cauthy极限存在准则**](#cauthy极限存在准则)
-      - [🌟**Cauthy极限公式**](#cauthy极限公式)
+      - [🌟**Cauchy极限存在准则**](#cauchy极限存在准则)
+      - [🌟**Cauchy极限公式**](#cauchy极限公式)
       - [🌟**奥特曼法**](#奥特曼法)
       - [🌟**Stolz定理**](#stolz定理)
       - [🌟**中值定理求极限的方法**](#中值定理求极限的方法)
@@ -64,8 +64,11 @@
       - [🌟**常数变易法**](#常数变易法)
     - [8️⃣第八章 无穷级数](#8️⃣第八章-无穷级数)
       - [🌟**Euler常数**](#euler常数)
-      - [🌟**Stirling公式**](#stirling公式-1)
-      - [🌟**无穷大量的比较**](#无穷大量的比较-1)
+      - [🌟**拉链定理**](#拉链定理)
+      - [🌟**Cauchy乘积**](#cauchy乘积)
+      - [🌟**Cauchy收敛定理**](#cauchy收敛定理)
+      - [🌟**Weierstrass准则**](#weierstrass准则)
+      - [🌟**Parseval恒等式**](#parseval恒等式)
   - [第三步：开始速通真题](#第三步开始速通真题)
 - [资料库](#资料库)
   - [推荐书籍](#推荐书籍)
@@ -219,7 +222,7 @@ $arctanx+arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}$
 
 ### 1️⃣第一章 函数、极限、连续
 
-#### 🌟**Cauthy极限存在准则**
+#### 🌟**Cauchy极限存在准则**
 数列
 $x_n$
 收敛的充分必要条件是：
@@ -234,7 +237,7 @@ $m>N,n>N$
 $\|x_n-x_m|<\epsilon$
 
 
-#### 🌟**Cauthy极限公式**
+#### 🌟**Cauchy极限公式**
 若
 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=A$
 ,则
@@ -678,7 +681,7 @@ $uOv$
 $x=x(u,v),y=y(u,v)$
 
 则Jacobi行列式
-$J=|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}|=\left|\begin{array}{cccc}x_u&x_v\\ y_u&y_v\end{array}|$
+$J=|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}|=\left|\begin{array}{cccc} x_u  &  x_v  \\ y_u  &  y_v   \end{array}\right|$
 
 则有
 $dxdy=|J|dudv$
@@ -720,14 +723,12 @@ $J=\left|
     x_r  &  x_\theta  \\ 
     y_r  &  y_\theta   
 \end{array}
-\right|=$
-$\left|
+\right|=\left|
 \begin{array}{cccc} 
     \cos \theta  &  -r\sin \theta  \\ 
     \sin \theta  &  r\cos \theta   
 \end{array}
-\right|=$
-$r\cos ^2\theta+r\sin ^2\theta =r$
+\right|=r\cos ^2\theta+r\sin ^2\theta =r$
 
 则有
 $dxdy=rdrd\theta$
@@ -742,6 +743,11 @@ $dxdy=rdrd\theta$
 
 #### 🌟**二重积分的分部积分公式**
 
+把格林(Green)公式中被积函数换成俩函数乘积即可推出二重积分的分部积分公式。
+
+$\iint_{\Omega}f\frac{\partial g}{\partial x}dxdy=\oint_{\partial \Omega}(f\cdot g)dy-\iint_{\Omega}g\frac{\partial f}{\partial x}dxdy$
+
+$\iint_{\Omega}f\frac{\partial g}{\partial y}dxdy=-\oint_{\partial \Omega}(f\cdot g)dx-\iint_{\Omega}g\frac{\partial f}{\partial y}dxdy$
 
 #### 🌟**三重积分换元公式**
 
@@ -837,49 +843,74 @@ $\gamma \approx 0.57721 56649$
 
 $\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{n}-\ln n= \gamma$
 
+$(0<\alpha<\beta, a>1)$
 
-#### 🌟**Stirling公式**
+所以可以直接有：
 
-上面极限部分也有该内容。
+$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{n!}{n^n}}=0$
 
-斯特林公式(Stirling公式)
+#### 🌟**拉链定理**
 
->用一坨答辩来逼近
-$n!$
+其实这个点也可以放在第一章里面。
 
+数列收敛的**充要条件**是其奇、偶子数列收敛于同一极限。
 
-$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{e^nn!}{n^n\sqrt{n}}}=\sqrt{2\pi}$
+#### 🌟**Cauchy乘积**
 
-比较少数的CMC题目可以直接用这个公式。
+也叫做俩数列的离散卷积。
 
-#### 🌟**无穷大量的比较**
+Cauchy乘积的定义为：
 
-上面极限部分也有该内容，可以类比无穷小量。
+对于俩个级数
+$\sum_{n=0}^{\infty}a_n$
+和
+$\sum_{n=0}^{\infty}b_n$
+,不论其敛散性，其Cauchy乘积为:
 
-如果学过算法分析，理解起来很容易，其实就是时间复杂度的比较。
+$(\sum_{n=0}^{\infty}a_n)\cdot(\sum_{n=0}^{\infty}b_n)=\sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{m=0}^{n}a_mb_{n-m})$
 
-当
-$n\rightarrow+\infty$
-时，有
+#### 🌟**Cauchy收敛定理**
 
-$\ln n$
-$<$
-$n^{\alpha}$
-$<$
-$n^{\beta}$
-$<$
-$a^n$
-$<$
-$n!$
-$<$
-$n^n$
-
-$(0<\alpha<\beta, a>1)$
-
-所以可以直接有：
+若
+$\sum_{n=0}^{\infty}a_n$
+和
+$\sum_{n=0}^{\infty}b_n$
+绝对收敛，且
+$\sum_{n=0}^{\infty}a_n=A$
+,
+$\sum_{n=0}^{\infty}b_n=B$
+则其**柯西乘积**绝对收敛，且收敛到
+$A\cdot B$
+
+也就是说，
+$(\sum_{n=0}^{\infty}a_n)\cdot(\sum_{n=0}^{\infty}b_n)=\sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{m=0}^{n}a_mb_{n-m})=A\cdot B$
+
+#### 🌟**Weierstrass准则**
+
+若存在一个收敛的正项级数
+$\sum_{n=1}^{\infty}M_n$
+，对任意
+$n\in N_{+}$
+以及任意
+$x\in I$
+，恒有
+$|u_n(x) \le M_n|$
+则级数
+$\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$
+在
+$I$
+上一致收敛。
 
-$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{n!}{n^n}}=0$
+#### 🌟**Parseval恒等式**
 
+设
+$f(x)$
+是
+$[0,2\pi]$
+上的分段连续函数，且
+$f(x)~\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos {nx}+b_n \sin {nx})$
+则有
+$\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}(f(x))^2dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)$
 
 ## 第三步：开始速通真题