[Example]Add brusselator3d example and LNO net (PaddlePaddle#988)

* [Example]Add brusselator3d example and LNOnD net

* update code

* update plot function and add doc

* add lno to arch.md

docs/zh/api/arch.md

@@ -33,5 +33,6 @@
         - UNetEx
         - UNONet
         - USCNN
+        - LNO
       show_root_heading: true
       heading_level: 3

docs/zh/examples/brusselator3d.md

@@ -0,0 +1,198 @@
+# 3D-Brusselator
+
+<!-- <a href="TODO" class="md-button md-button--primary" style>AI Studio快速体验</a> -->
+
+=== "模型训练命令"
+
+    ``` sh
+    # linux
+    wget -nc https://paddle-org.bj.bcebos.com/paddlescience/datasets/Brusselator3D/brusselator3d_dataset.npz
+    # windows
+    # curl https://paddle-org.bj.bcebos.com/paddlescience/datasets/Brusselator3D/brusselator3d_dataset.npz -o brusselator3d_dataset.tar
+    python brusselator3d.py
+    ```
+
+=== "模型评估命令"
+
+    ``` sh
+    # linux
+    wget -nc https://paddle-org.bj.bcebos.com/paddlescience/datasets/Brusselator3D/brusselator3d_dataset.npz
+    # windows
+    # curl https://paddle-org.bj.bcebos.com/paddlescience/datasets/Brusselator3D/brusselator3d_dataset.npz -o brusselator3d_dataset.tar
+    python brusselator3d.py mode=eval EVAL.pretrained_model_path=https://paddle-org.bj.bcebos.com/paddlescience/models/Brusselator3D/brusselator3d_pretrained.pdparams
+    ```
+
+
+| 预训练模型  | 指标 |
+|:--| :--|
+| [brusselator3d_pretrained.pdparams](https://paddle-org.bj.bcebos.com/paddlescience/models/Brusselator3D/brusselator3d_pretrained.pdparams) | loss(sup_validator): 16.87812<br>L2Rel.output(sup_validator): 0.08544 |
+
+## 1. 背景简介
+
+该案例引入拉普拉斯神经算子（LNO）来构建深度学习网络，它利用拉普拉斯变换来分解输入空间。与傅里叶神经算子 (FNO) 不同，LNO 可以处理非周期信号、考虑瞬态响应并表现出指数收敛，它结合了输入和输出空间之间的极点-残差关系，从而实现了更大的可解释性和改进的泛化能力。LNO 中单个拉普拉斯层与 FNO 中的四个傅里叶模块上精度近似，对于非线性反应扩散系统，LNO的误差小于FNO。
+
+该案例研究 LNO 网络在布鲁塞尔反应扩散系统上的应用。
+
+## 2. 问题定义
+
+反应扩散系统描述了化学物质或粒子的浓度随时间和空间的变化，常应用于化学、生物学、地质学和物理学。扩散反应方程可以表示为：
+
+$$D\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}+ky^2-\frac{\partial y}{\partial t}=f(x,t)$$
+
+其中 $y(x,t)$ 表示化学物质或颗粒在位置x和时间t的浓度，$f(x,t)$ 是源项，$D$ 是扩散系数，$k$ 是反应速率。
+
+## 3. 问题求解
+
+接下来开始讲解如何将问题一步一步地转化为 PaddleScience 代码，用深度学习的方法求解该问题。
+为了快速理解 PaddleScience，接下来仅对模型构建、方程构建、计算域构建等关键步骤进行阐述，而其余细节请参考 [API文档](../api/arch.md)。
+
+### 3.1 数据集介绍
+
+数据集为使用 LNO 论文原代码提供的数据集，数据集中包含训练集输入、标签数据，验证集输入、标签数据，数据存储在 `.npz` 文件中，在训练前需要读入数据。
+
+运行本问题代码前请下载 [数据集](https://paddle-org.bj.bcebos.com/paddlescience/datasets/Brusselator3D/brusselator3d_dataset.npz)，并存放在相应路径：
+
+``` yaml linenums="39"
+--8<--
+examples/brusselator3d/conf/brusselator3d.yaml:39:40
+--8<--
+```
+
+### 3.2 模型构建
+
+<figure markdown>
+  ![LNO](https://paddle-org.bj.bcebos.com/paddlescience/docs/Brusselator3D/lno.png){ loading=lazy style="margin:0 auto"}
+  <figcaption> (a) LNO 整体架构 (b) Laplace 层</figcaption>
+</figure>
+
+上图为 LNO 整体架构和 Laplace 层示意图。输入数据进入网络后，先通过浅神经网络 $P$ 提升到更高的维度，之后一方面进行局部线性变换 $W$，另一方面应用拉普拉斯层，之后再将这两条路径的结果进行加和，最后再通过浅神经网络 $Q$ 返回目标维度。
+
+拉普拉斯层中的，上面一行代表应用极残差法来计算基于系统极 $\mu_{n}$ 和残差 $\beta_{n}$ 的瞬态响应残差 $\gamma_{n}$ 表示拉普拉斯域中的瞬态响应，下面一行代表应用极残差方法，根据输入极 $i\omega_{l}$ 和残差 $i\alpha_{l}$ 计算稳态响应残差 $i\lambda_{l}$ 表示拉普拉斯域中的稳态响应。
+
+具体代码请参考 [完整代码](#4) 中 lno.py 文件。
+
+在构建网络之前，需要根据参数设定，使用 `linespace` 明确各个维度长度，以便 LNO 网络进行 $\lambda$ 的初始化。用 PaddleScience 代码表示如下：
+
+``` py linenums="114"
+--8<--
+examples/brusselator3d/brusselator3d.py:114:122
+--8<--
+```
+
+### 3.3 参数和超参数设定
+
+我们需要指定问题相关的参数，如数据集路径、各个维度长度等。
+
+``` yaml linenums="32"
+--8<--
+examples/brusselator3d/conf/brusselator3d.yaml:32:40
+--8<--
+```
+
+另外需要在配置文件中指定训练轮数、`batch_size` 等其他训练所需参数。
+
+``` yaml linenums="54"
+--8<--
+examples/brusselator3d/conf/brusselator3d.yaml:54:58
+--8<--
+```
+
+### 3.4 优化器构建
+
+训练过程会调用优化器来更新模型参数，此处选择 `AdamW` 优化器，并配合使用机器学习中常用的 StepDecay 学习率调整策略。
+
+`AdamW` 优化器基于 `Adam` 优化器进行了改进，用来解决 `Adam` 优化器中 L2 正则化失效的问题。
+
+``` py linenums="124"
+--8<--
+examples/brusselator3d/brusselator3d.py:124:128
+--8<--
+```
+
+### 3.5 约束构建
+
+本问题采用监督学习的方式进行训练，仅存在监督约束 `SupervisedConstraint`，代码如下：
+
+``` py linenums="130"
+--8<--
+examples/brusselator3d/brusselator3d.py:130:156
+--8<--
+```
+
+`SupervisedConstraint` 的第一个参数是监督约束的读取配置，其中 `dataset` 字段表示使用的训练数据集信息，各个字段分别表示：
+
+1. `name`： 数据集类型，此处 `NamedArrayDataset` 表示从 Array 中读取的数据集；
+2. `input`： Array 类型的输入数据；
+3. `label`： Array 类型的标签数据；
+
+`batch_size` 字段表示 batch 的大小；
+
+`sampler` 字段表示采样方法，其中各个字段表示：
+
+1. `name`： 采样器类型，此处 `BatchSampler` 表示批采样器；
+2. `drop_last`： 是否需要丢弃最后无法凑整一个 mini-batch 的样本，设为 False；
+3. `shuffle`： 是否需要在生成样本下标时打乱顺序，设为 True；
+
+`num_workers` 字段表示 输入加载时的线程数；
+
+第二个参数是损失函数，这里选用常用的 L2Rel 损失函数，且 reduction 设置为 "sum" ，即将参与计算的所有数据点产生的损失项求和；
+
+第三个参数是约束条件的名字，我们需要给每一个约束条件命名，方便后续对其索引。
+
+``` py linenums="158"
+--8<--
+examples/brusselator3d/brusselator3d.py:158:159
+--8<--
+```
+
+### 3.6 评估器构建
+
+在训练过程中通常会按一定轮数间隔，用验证集（测试集）评估当前模型的训练情况，因此需要构建评估器：
+
+``` py linenums="161"
+--8<--
+examples/brusselator3d/brusselator3d.py:161:189
+--8<--
+```
+
+其中大部分参数含义与约束器中类似，不同的参数有：
+
+第三个参数是输出的转写公式 `output_expr`，规定了最终输入数据的 key 和 value。
+
+第四个参数是误差评估函数，这里选用的 L2Rel Error 函数，reduction 未设置，即为默认值 "mean" ，将参与计算的所有数据点产生的 Error 求平均；
+
+
+### 3.7 模型训练、评估
+
+完成上述设置之后，只需要将上述实例化的对象按顺序传递给 `ppsci.solver.Solver`，然后启动训练、评估、可视化。
+
+``` py linenums="191"
+--8<--
+examples/brusselator3d/brusselator3d.py:191:204
+--8<--
+```
+
+## 4. 完整代码
+
+``` py linenums="1" title="brusselator3d.py"
+--8<--
+examples/brusselator3d/brusselator3d.py
+--8<--
+```
+
+## 5. 结果展示
+
+下面展示了在验证集上的预测结果和标签。
+
+<figure markdown>
+  ![brusselator3d_compare.jpg](https://paddle-org.bj.bcebos.com/paddlescience/docs/Brusselator3D/pretrained_result.png){ loading=lazy }
+  <figcaption>蓝线为预测结果，黄线为标签</figcaption>
+</figure>
+
+可以看到模型预测的结果与标签基本一致。
+
+## 6. 参考文献
+
+- [LNO: Laplace Neural Operator for Solving Differential Equations](https://arxiv.org/abs/2303.10528)
+
+- [参考代码](https://github.com/qianyingcao/Laplace-Neural-Operator/tree/main/3D_Brusselator)