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@@ -14,7 +14,7 @@ You can also read online 👉  [yuque.com/agoclover/ml](https://www.yuque.com/ag
 
 # Statistics
 
-[随机变量及其分布](Statistics/随机变量及其分布.md)
+[随机变量及其分布](Statistics/随机变量及其分布_show.md)
 
 [随机变量数字特征](Statistics/随机变量数字特征.pdf)
 

Statistics/随机变量及其分布.md

@@ -43,7 +43,7 @@ $A_1$: 抛 1 颗骰子, 出现的点数大于 3.
 # 随机变量
 
 
-设随机试验的样本空间为 $S = \left \{ e  \right \}$, $X=X\left( e \right)$ 是定义在样本空间上的实值单值函数, 则称 $X$ 为随机变量. 一般以大写字母 $X, Y, Z$ 等表示随机变量, 而以小写字母 $x, y, z$ 等表示实数. 随机变量的取值随试验的结果而定, 在试验之前不能预知取值, 且它的取值有一定的概率. 
+设随机试验的样本空间为 $S = \lbrace e \rbrace$, $X=X\left( e \right)$ 是定义在样本空间上的实值单值函数, 则称 $X$ 为随机变量. 一般以大写字母 $X, Y, Z$ 等表示随机变量, 而以小写字母 $x, y, z$ 等表示实数. 随机变量的取值随试验的结果而定, 在试验之前不能预知取值, 且它的取值有一定的概率. 
 
 
 随机变量有**离散型**和**连续型**: 

Statistics/随机变量及其分布_show.md

@@ -0,0 +1,244 @@
+# 随机变量及其分布
+
+# 随机试验
+
+
+**随机试验**是[概率论](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA)的一个基本概念.  概括地讲, 在[概率论](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA)中把符合下面三个特点的试验叫做随机试验: 
+
+
+1. 可以在相同的条件下重复的进行. 
+2. 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事先明确试验的所有可能结果. 
+3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 
+
+随机试验通常用  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=E)  (event) 表示: 
+
+
+ ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=E)  : 抛1颗骰子, 观察出现的点数情况. 
+
+
+# 样本空间
+
+
+随机试验  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=E)  的所有可能结果组成的集合成为  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=E)  的**样本空间**, 记为  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=S) . 
+
+
+样本空间的元素, 即E的每个结果, 成为**样本点**. 
+
+
+ ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=S) = {点1, 点2, 点3, 点4, 点5, 点6}
+
+
+点 1 到点 6 均为样本点. 
+
+
+# 随机事件
+
+
+随机试验  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=E)  的样本空间  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=S)  的子集为  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=E)  的**随机事件**, 在每次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称这一**事件发生**. 由一个样本点组成的单点集, 成为**基本事件**.  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=S)  本身成为**必然事件**.  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%E2%88%85)  不包含任何样本点, 成为**不可能事件**. 
+
+
+ ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=A_1) : 抛 1 颗骰子, 出现的点数大于 3. 
+
+
+# 随机变量
+
+
+设随机试验的样本空间为  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=S%20%3D%20%5Clbrace%20e%20%5Crbrace) ,  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=X%3DX%5Cleft%28%20e%20%5Cright%29)  是定义在样本空间上的实值单值函数, 则称  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=X)  为随机变量. 一般以大写字母  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=X%2C%20Y%2C%20Z)  等表示随机变量, 而以小写字母  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=x%2C%20y%2C%20z)  等表示实数. 随机变量的取值随试验的结果而定, 在试验之前不能预知取值, 且它的取值有一定的概率. 
+
+
+随机变量有**离散型**和**连续型**: 
+
+
+离散型随机变量有其**分布律**; 
+
+
+连续型随机变量可以满足一定**分布**. 
+
+
+ ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=X)  为点数对应的数字:  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=X%3D1%2C%202%2C%203%2C%204%2C%205%2C%206) , 离散型,  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=A1%3A%20X%3E3) ,  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=P%5Cleft%28%20X%3E3%20%5Cright%29%20%3D%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%202%20%7D) 
+
+
+# 离散型随机变量分布律
+## 0-1分布
+
+**伯努利分布** (英语: Bernoulli distribution, 又名**两点分布**或者**0-1分布**, 是一个[离散型概率分布](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A6%82%E7%8E%87%E5%88%86%E5%B8%83#%E7%A6%BB%E6%95%A3%E5%88%86%E5%B8%83), 为纪念瑞士科学家[雅各布·伯努利](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%85%E5%90%84%E5%B8%83%C2%B7%E4%BC%AF%E5%8A%AA%E5%88%A9)而命名). 若伯努利试验成功, 则伯努利随机变量取值为1. 若伯努利试验失败, 则伯努利随机变量取值为0. 记其成功概率为 ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%7B%5Cdisplaystyle%20p%280%7B%5Cleq%20%7Dp%7B%5Cleq%20%7D1%29%7D) , 失败概率为  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%7B%5Cdisplaystyle%20q%3D1-p%7D) .
+
+
+- 其[概率密度函数](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%B4%A8%E9%87%8F%E5%87%BD%E6%95%B0)为:
+
+
+
+![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%7B%5Cdisplaystyle%20f_%7BX%7D%28x%29%3Dp%5E%7Bx%7D%281-p%29%5E%7B1-x%7D%3D%5Cleft%5C%7B%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dp%26%7B%5Cmbox%7Bif%20%7D%7Dx%3D1%2C%5C%5Cq%5C%20%26%7B%5Cmbox%7Bif%20%7D%7Dx%3D0.%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%7D%5Cright.%7D)
+
+
+
+- 其[期望值](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%9F%E6%9C%9B%E5%80%BC)为:
+
+
+
+![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%7B%5Cdisplaystyle%20%5Coperatorname%20%7BE%7D%20%5BX%5D%3D%5Csum%20_%7Bi%3D0%7D%5E%7B1%7Dx_%7Bi%7Df_%7BX%7D%28x%29%3D0%2Bp%3Dp%7D)
+
+
+
+- 其[方差](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%96%B9%E5%B7%AE)为:
+
+
+
+![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%7B%5Cdisplaystyle%20%5Coperatorname%20%7Bvar%7D%20%5BX%5D%3D%5Csum%20_%7Bi%3D0%7D%5E%7B1%7D%28x_%7Bi%7D-E%5BX%5D%29%5E%7B2%7Df_%7BX%7D%28x%29%3D%280-p%29%5E%7B2%7D%281-p%29%2B%281-p%29%5E%7B2%7Dp%3Dp%281-p%29%3Dpq%7D)
+
+
+
+## 二项分布
+
+在概率论和统计学中, 二项分布 (英语: Binomial distribution) 是 n 个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布, 其中每次试验的成功概率为 p. 这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验. 实际上, 当 n = 1 时, 二项分布就是伯努利分布. 二项分布是显著性差异的二项试验的基础. 
+
+下图左边两张图分别为**概率密度函数**与**累积分布函数**:
+
+![二项分布](../pics/二项分布.png)
+
+## 几何分布
+
+在概率论和统计学中, 几何分布 (英语: Geometric distribution) 指的是以下两种离散型概率分布中的一种: 
+
+在伯努利试验中, 得到一次成功所需要的试验次数 X. X 的值域是 { 1, 2, 3, ... }
+在得到第一次成功之前所经历的失败次数 Y = X − 1. Y 的值域是 { 0, 1, 2, 3, ... }
+
+实际使用中指的是哪一个取决于惯例和使用方便. 
+
+这两种分布不应该混淆. 前一种形式 (X的分布) 经常被称作shifted geometric distribution; 但是, 为了避免歧义, 最好明确地说明取值范围. 
+
+如果每次试验的成功概率是p, 那么k次试验中, 第k次才得到成功的概率是,   ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%7B%5Cdisplaystyle%20%5CPr%28X%3Dk%29%3D%281-p%29%5E%7Bk-1%7D%5C%2Cp%5C%2C%7D) 
+
+ 其中 k = 1, 2, 3, .... 上式描述的是取得一次成功所需要的试验次数. 
+
+而另一种形式, 也就是第一次成功之前所失败的次数, 可以写为:  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%7B%5Cdisplaystyle%20%5CPr%28Y%3Dk%29%3D%281-p%29%5E%7Bk%7D%5C%2Cp%5C%2C%7D) , 其中 k = 0, 1, 2, 3, .... 两种情况产生的序列都是几何数列. 
+
+比如, 假设不停地掷骰子, 直到得到1. 投掷次数是随机分布的, 取值范围是无穷集合{ 1, 2, 3, ... }, 并且是一个p = 1/6的几何分布. 
+
+<img src="../pics/几何分布.png" alt="几何分布" style="zoom:50%;" />
+
+## 超几何分布
+
+超几何分布是统计学上一种离散概率分布. 它描述了由有限个物件中抽出 n 个物件, 成功抽出指定种类的物件的个数 (不归还  (without replacement). 
+
+例如在有 N 个样本, 其中 K 个是不及格的. 超几何分布描述了在该 N 个样本中抽出 n 个, 其中 k 个是不及格的几率: 
+
+
+
+![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%7B%5Cdisplaystyle%20f%28k%3Bn%2CK%2CN%29%3D%7B%7B%7BK%20%5Cchoose%20k%7D%7B%7BN-K%7D%20%5Cchoose%20%7Bn-k%7D%7D%7D%20%5Cover%20%7BN%20%5Cchoose%20n%7D%7D%7D)
+
+
+
+上式可如此理解:  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%7B%5Cdisplaystyle%20%7B%5Ctbinom%20%7BN%7D%7Bn%7D%7D%7D)  表示所有在 N 个样本中抽出 n 个的方法数目.  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%7B%5Cdisplaystyle%20%7B%5Ctbinom%20%7BK%7D%7Bk%7D%7D%7D)  表示在 K 个样本中, 抽出 k 个的方法数目, 即组合数, 又称二项式系数. 剩下来的样本都是及格的, 而及格的样本有  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%7B%5Cdisplaystyle%20N-K%7D)  个, 剩下的抽法便有  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%7B%5Cdisplaystyle%20%7B%5Ctbinom%20%7BN-K%7D%7Bn-k%7D%7D%7D)  种. 
+
+若 n = 1, 超几何分布还原为伯努利分布. 
+
+**记号**
+
+若随机变量 X 服从参数为  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%7B%5Cdisplaystyle%20n%2CK%2CN%7D)  的超几何分布, 则记为  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%7B%5Cdisplaystyle%20X%5Csim%20H%28n%2CK%2CN%29%7D) . 
+
+![超几何分布](../pics/超几何分布.png)
+
+## 泊松分布
+
+泊松分布 (法语: loi de Poisson, 英语: Poisson distribution) 又称帕松分布, 普阿松分布, 布瓦松分布, 布阿松分布, 波以松分布, 卜氏分配, 泊松小数法则 (Poisson law of small numbers), 是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布, 由法国数学家西莫恩·德尼·泊松在1838年时发表. 
+
+
+泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布. 如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数, 电话交换机接到呼叫的次数, 汽车站台的候客人数, 机器出现的故障数, 自然灾害发生的次数, DNA 序列的变异数, 放射性原子核的衰变数, 激光的光子数分布等等. 
+
+泊松分布的概率质量函数为: 
+
+
+
+![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%7B%5Cdisplaystyle%20P%28X%3Dk%29%3D%7B%5Cfrac%20%7Be%5E%7B-%5Clambda%20%7D%5Clambda%20%5E%7Bk%7D%7D%7Bk%21%7D%7D%7D)
+
+
+
+泊松分布的参数λ是单位时间 (或单位面积) 内随机事件的平均发生率. 
+
+![泊松分布](../pics/泊松分布.png)
+
+# 连续型随机变量的分布
+
+分布函数, 概率密度函数, 随机变量的函数的分布
+
+## 均匀分布
+
+连续型均匀分布, 如果连续型随机变量  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%7B%5Cdisplaystyle%20%7B%5Cmathit%20%7BX%7D%7D%7D)  具有如下的概率密度函数, 则称  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%7B%5Cdisplaystyle%20%7B%5Cmathit%20%7BX%7D%7D%7D)  服从  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%7B%5Cdisplaystyle%20%5Ba%2Cb%5D%7D)  上的均匀分布 (uniform distribution) ,记作 ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%7B%5Cdisplaystyle%20X%5Csim%20U%5Ba%2Cb%5D%7D) 
+
+一个均匀分布在区间 [a,b] 上的连续型随机变量  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%7B%5Cdisplaystyle%20X%7D)  可给出如下函数: 
+
+**概率密度函数**: 
+
+
+
+![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%7B%5Cdisplaystyle%20f%28x%29%3D%5Cleft%5C%7B%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%7B%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb-a%7D%7D%26%5C%20%5C%20%5C%20%7B%5Cmbox%7Bfor%20%7D%7Da%5Cleq%20x%5Cleq%20b%5C%5C0%26%7B%5Cmbox%7Belsewhere%7D%7D%5Cend%7Bmatrix%7D%7D%5Cright.%7D)
+
+
+
+
+**累积分布函数**:
+
+
+
+![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%7B%5Cdisplaystyle%20F%28x%29%3D%5Cleft%5C%7B%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D0%26%7B%5Cmbox%7Bfor%20%7D%7Dx%3C%20a%5C%5C%7B%5Cfrac%20%7Bx-a%7D%7Bb-a%7D%7D%26%5C%20%5C%20%5C%20%7B%5Cmbox%7Bfor%20%7D%7Da%5Cleq%20x%3C%20b%5C%5C1%26%7B%5Cmbox%7Bfor%20%7D%7Dx%5Cgeq%20b%5Cend%7Bmatrix%7D%7D%5Cright.%7D)
+
+
+
+![均匀分布](../pics/均匀分布.png)
+
+## 指数分布
+
+在概率论和统计学中, 指数分布 (英语: Exponential distribution) 是一种连续概率分布. 指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔, 比如旅客进入机场的时间间隔, 打进客服中心电话的时间间隔, 中文维基百科新条目出现的时间间隔等等. 
+
+**概率密度函数**
+
+一个指数分布的概率密度函数是: 
+
+
+
+![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%7B%5Cdisplaystyle%20f%28x%3B%5Clambda%20%29%3D%5Cleft%5C%7B%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%5Clambda%20e%5E%7B-%5Clambda%20x%7D%26%2C%5C%3Bx%5Cgeq%200%2C%5C%5C0%26%2C%5C%3Bx%3C0.%5Cend%7Bmatrix%7D%7D%5Cright.%7D)
+
+
+
+
+其中λ > 0是分布的一个参数, 常被称为率参数 (rate parameter) . 即每单位时间发生该事件的次数. 指数分布的区间是[0,∞).  如果一个随机变量X 呈指数分布, 则可以写作: X ~ Exponential (λ) . 
+
+**累积分布函数**
+
+累积分布函数可以写成: 
+
+
+
+![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%7B%5Cdisplaystyle%20F%28x%3B%5Clambda%20%29%3D%5Cleft%5C%7B%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D1-e%5E%7B-%5Clambda%20x%7D%26%2C%5C%3Bx%5Cgeq%200%2C%5C%5C0%26%2C%5C%3Bx%3C0.%5Cend%7Bmatrix%7D%7D%5Cright.%7D)
+
+
+
+![指数分布](../pics/%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%88%86%E5%B8%83.png)
+
+## 正态分布
+
+正态分布 (台湾作常态分布, 英语: normal distribution) 又名高斯分布 (英语: Gaussian distribution) , 是一个非常常见的连续概率分布. 正态分布在统计学上十分重要, 经常用在自然和社会科学来代表一个不明的随机变量.
+
+若随机变量 X 服从一个位置参数为  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%5Cmu)  , 尺度参数为  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%5Csigma)  的正态分布, 记为: 
+
+
+
+![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%7B%5Cdisplaystyle%20X%5Csim%20N%28%5Cmu%20%2C%5Csigma%20%5E%7B2%7D%29%2C%7D)
+
+
+
+则其概率密度函数为:
+
+
+
+![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%7B%5Cdisplaystyle%20f%28x%29%3D%7B%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%5Csigma%20%7B%5Csqrt%20%7B2%5Cpi%20%7D%7D%7D%7D%5C%3Be%5E%7B-%7B%5Cfrac%20%7B%5Cleft%28x-%5Cmu%20%5Cright%29%5E%7B2%7D%7D%7B2%5Csigma%20%5E%7B2%7D%7D%7D%7D%5C%21%7D)
+
+
+
+正态分布的数学期望值或期望值  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%5Cmu)  等于位置参数, 决定了分布的位置; 其方差  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%5Csigma%5E2)  的开平方或标准差  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%5Csigma) .
+
+正态分布的概率密度函数曲线呈钟形, 因此人们又经常称之为钟形曲线 (类似于寺庙里的大钟, 因此得名). 我们通常所说的标准正态分布是位置参数  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%5Cmu%20%3D%200) , 尺度参数  ![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math=%5Csigma%5E2%20%3D%201)  的正态分布 (见下图中红色曲线).
+
+![正态分布png](../pics/正态分布.png)
+

scripts/.ipynb_checkpoints/未命名-checkpoint.ipynb

@@ -0,0 +1,6 @@
+{
+ "cells": [],
+ "metadata": {},
+ "nbformat": 4,
+ "nbformat_minor": 4
+}

scripts/latex2pic.py

@@ -0,0 +1,25 @@
+import re
+from urllib.parse import quote
+
+if __name__ == "__main__":
+    text = open("/Users/amos/Learning/machine-learning/Statistics/随机变量及其分布.md",encoding="utf-8").read()
+
+    parts = text.split("$$")
+
+    for i, part in enumerate(parts):
+        if i & 1:
+            parts[i] = f'![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math={quote(part.strip())})'
+
+    text_out = "\n\n".join(parts)
+
+    lines = text_out.split('\n')
+    for lid, line in enumerate(lines):
+        parts = re.split(r"\$(.*?)\$", line)
+        for i, part in enumerate(parts):
+            if i & 1:
+                parts[i] = f'![math](https://render.githubusercontent.com/render/math?math={quote(part.strip())})'
+        lines[lid] = ' '.join(parts)
+    text_out = "\n".join(lines)
+
+    with open("/Users/amos/Learning/machine-learning/Statistics/随机变量及其分布_show.md", "w", encoding='utf-8') as f:
+        f.write(text_out)