feat: #1131

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problems/1131.maximum-of-absolute-value-expression.md

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+## 题目地址
+
+https://leetcode-cn.com/problems/maximum-of-absolute-value-expression/description/
+
+## 题目描述
+
+给你两个长度相等的整数数组，返回下面表达式的最大值：
+
+|arr1[i] - arr1[j]| + |arr2[i] - arr2[j]| + |i - j|
+
+其中下标 i，j 满足 0 <= i, j < arr1.length。
+
+示例 1：
+
+输入：arr1 = [1,2,3,4], arr2 = [-1,4,5,6]
+输出：13
+示例 2：
+
+输入：arr1 = [1,-2,-5,0,10], arr2 = [0,-2,-1,-7,-4]
+输出：20
+
+提示：
+
+2 <= arr1.length == arr2.length <= 40000
+-10^6 <= arr1[i], arr2[i] <= 10^6
+
+## 解法一（数学分析）
+
+### 思路
+
+如图我们要求的是这样一个表达式的最大值。arr1 和 arr2 为两个不同的数组，且二者长度相同。i 和 j 是两个合法的索引。
+
+> 红色竖线表示的是绝对值的符号
+
+![](https://tva1.sinaimg.cn/large/006tNbRwly1gamo3dx1bej30q003y74f.jpg)
+
+我们对其进行分类讨论，有如下八种情况：
+
+> |arr1[i] -arr1[j]| 两种情况
+> |arr2[i] -arr2[j]| 两种情况
+> |i - j| 两种情况
+> 因此一共是 2 \* 2 \* 2 = 8 种
+
+![](https://tva1.sinaimg.cn/large/006tNbRwgy1gamosnsknej30tg0viq6w.jpg)
+
+由于 i 和 j 之前没有大小关系，也就说二者可以相互替代。因此：
+
+- 1 等价于 8
+- 2 等价于 7
+- 3 等价于 6
+- 4 等价于 5
+
+也就是说我们只需要计算 1，2，3，4 的最大值就可以了。（当然你可以选择其他组合，只要完备就行）
+
+为了方便，我们将 i 和 j 都提取到一起：
+
+![](https://tva1.sinaimg.cn/large/006tNbRwly1gamp5sizefj30qs0g6gmx.jpg)
+
+容易看出等式的最大值就是前面的最大值，和后面最小值的差值。如图：
+
+![](https://tva1.sinaimg.cn/large/006tNbRwly1gamp9c3g9lj30r20kcabx.jpg)
+
+再仔细观察，会发现前面部分和后面部分是一样的，原因还是上面所说的 i 和 j 可以互换。因此我们要做的就是：
+
+- 遍历一遍数组，然后计算四个表达式， arr1[i] + arr2[i] + i，arr1[i] - arr2[i] + i，arr2[i] - arr1[i] + i 和 -1 \* arr2[i] - arr1[i] + i 的 最大值和最小值。
+- 然后分别取出四个表达式最大值和最小值的差值（就是这个表达式的最大值）
+- 四个表达式最大值再取出最大值
+
+### 关键点
+
+- 数学分析
+
+### 代码
+
+```python
+class Solution:
+    def maxAbsValExpr(self, arr1: List[int], arr2: List[int]) -> int:
+        A = []
+        B = []
+        C = []
+        D = []
+        for i in range(len(arr1)):
+            a, b, c, d = arr1[i] + arr2[i] + i, arr1[i] - arr2[i] + \
+                i, arr2[i] - arr1[i] + i, -1 * arr2[i] - arr1[i] + i
+            A.append(a)
+            B.append(b)
+            C.append(c)
+            D.append(d)
+        return max(max(A) - min(A), max(B) - min(B), max(C) - min(C), max(D) - min(D))
+```
+
+## 解法二（曼哈顿距离）
+
+### 思路
+
+![](https://tva1.sinaimg.cn/large/006tNbRwly1gampnn032tj308l0a8mxl.jpg)
+
+（图来自： https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9B%BC%E5%93%88%E9%A0%93%E8%B7%9D%E9%9B%A2）
+
+一维曼哈顿距离可以理解为一条线上两点之间的距离: |x1 - x2|，其值为 max(x1 - x2, x2 - x1)
+
+![](https://tva1.sinaimg.cn/large/006tNbRwgy1gampr362oaj30l004mdfv.jpg)
+
+在平面上，坐标（x1, y1）的点 P1 与坐标（x2, y2）的点 P2 的曼哈顿距离为：|x1-x2| + |y1 - y2|,其值为 max(x1 - x2 + y1 - y2, x2 - x1 + y1 - y2, x1 - x2 + y2 - y1, x2 -x1 + y2 - y1)
+
+![](https://tva1.sinaimg.cn/large/006tNbRwgy1gampwhua9fj30rq0lmdgl.jpg)
+
+然后这道题目是更复杂的三维曼哈顿距离，其中(i, arr[i], arr[j])可以看作三位空间中的一个点，问题转化为曼哈顿距离最远的两个点的距离。
+延续上面的思路，|x1-x2| + |y1 - y2| + |z1 - z2|,其值为 :
+
+max(
+
+x1 - x2 + y1 - y2 + z1 - z2,
+
+x1 - x2 + y1 - y2 + z2 - z1,
+
+x2 - x1 + y1 - y2 + z1 - z2,
+
+x2 - x1 + y1 - y2 + z2 - z1,
+
+x1 - x2 + y2 - y1 + z1 - z2,
+
+x1 - x2 + y2 - y1 + z2- z1,
+
+x2 -x1 + y2 - y1 + z1 - z2，
+
+x2 -x1 + y2 - y1 + z2 - z1
+
+)
+
+我们可以将 1 和 2 放在一起方便计算：
+
+max(
+
+x1 + y1 + z1 - (x2 + y2 + z2)，
+
+x1 + y1 - z1 - (x2 + y2 - z2)
+
+...
+
+)
+
+我们甚至可以扩展到 n 维，具体代码见下方。
+
+### 关键点
+
+- 曼哈顿距离
+- 曼哈顿距离代码模板
+
+> 解题模板可以帮助你快速并且更少错误的解题，更多解题模板请期待我的[新书](https://lucifer.ren/blog/2019/12/11/draft/)(未完成)
+
+### 代码
+
+```python
+class Solution:
+    def maxAbsValExpr(self, arr1: List[int], arr2: List[int]) -> int:
+        # 曼哈顿距离模板代码
+        sign = [1, -1]
+        n = len(arr1)
+        dists = []
+        # 三维模板
+        for a in sign:
+            for b in sign:
+                for c in sign:
+                    maxDist = float('-inf')
+                    minDist = float('inf')
+                    # 分别计算所有点的曼哈顿距离
+                    for i in range(n):
+                        dist = arr1[i] * a + arr2[i] * b + i * c
+                        maxDist = max(maxDist, dist)
+                        minDist = min(minDist, dist)
+                    # 将所有的点的曼哈顿距离放到dists中
+                    dists.append(maxDist - minDist)
+        return max(dists)
+```
+
+## 相关题目
+
+- [1030. 距离顺序排列矩阵单元格](https://leetcode-cn.com/problems/matrix-cells-in-distance-order/)
+
+![](https://tva1.sinaimg.cn/large/006tNbRwly1gamq577lgsj30xd0jzwjb.jpg)