Comments on diagram realization for simplicially constant sheaves.

bachelor.tex

@@ -1,6 +1,8 @@
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 % include latex header (\usepackage, \newcommand etc.) 
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+\input{header}
+
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 \begin{document}
 
@@ -11,21 +13,21 @@
 
 \tableofcontents
 
-% Einleitung
-
-% Dank
+\input{intro}
 
-%\input{ch01.tex}
-%\input{ch02.tex}
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+\input{ch01}
+\input{ch02}
+\input{ch03}
+\input{ch04}
+\input{ch05}
+\input{ch06}
 
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 \bibliography{bibtex}
+
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 \addcontentsline{toc}{chapter}{Literatur}
 
-% Eigenständigkeitserklärung
+\input{erklaerung}
 
 \end{document}

bibtex.bib

@@ -40,7 +40,33 @@ @book {GJ
        DOI = {10.1007/978-3-0346-0189-4},
        URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-0346-0189-4},
 }
-% TODO Mac Lane richtige Version finden
+@book {ML,
+    AUTHOR = {Mac Lane, Saunders},
+     TITLE = {Categories for the working mathematician},
+    SERIES = {Graduate Texts in Mathematics},
+    VOLUME = {5},
+   EDITION = {Second},
+ PUBLISHER = {Springer-Verlag, New York},
+      YEAR = {1998},
+     PAGES = {xii+314},
+      ISBN = {0-387-98403-8},
+   MRCLASS = {18-02},
+  MRNUMBER = {1712872},
+}
+@book {MoerTopoi,
+    AUTHOR = {Mac Lane, Saunders and Moerdijk, Ieke},
+     TITLE = {Sheaves in geometry and logic},
+    SERIES = {Universitext},
+      NOTE = {A first introduction to topos theory,
+              Corrected reprint of the 1992 edition},
+ PUBLISHER = {Springer-Verlag, New York},
+      YEAR = {1994},
+     PAGES = {xii+629},
+      ISBN = {0-387-97710-4},
+   MRCLASS = {03G30 (18B25 54B40)},
+  MRNUMBER = {1300636},
+MRREVIEWER = {M. Makkai},
+}
 @book {Borceux,
     AUTHOR = {Borceux, Francis},
      TITLE = {Handbook of categorical algebra. 2},
@@ -58,7 +84,7 @@ @book {Borceux
 @article {BBP,
     AUTHOR = {Bednarczyk, Marek A. and Borzyszkowski, Andrzej M. and
               Pawlowski, Wieslaw},
-     TITLE = {Generalized congruences---epimorphisms in Cat}, % wie Cat schreiben?
+     TITLE = {Generalized congruences---epimorphisms in Cat},
    JOURNAL = {Theory Appl. Categ.},
   FJOURNAL = {Theory and Applications of Categories},
     VOLUME = {5},
@@ -84,7 +110,6 @@ @article {Vogt
        DOI = {10.1007/BF01222616},
        URL = {https://doi.org/10.1007/BF01222616},
 }
-% TODO MIT simplicial sets
 @ARTICLE{Lore,
    author = {{Loregian}, F.},
     title = "{This is the (co)end, my only (co)friend}",
@@ -112,7 +137,17 @@ @article {Steenrod
 MRREVIEWER = {Ronald Brown},
        URL = {http://projecteuclid.org/euclid.mmj/1028999711},
 }
-% TODO Soergel TG, unveröffentlichtes WS
+@book {Gabriel-Zisman,
+    AUTHOR = {Gabriel, P. and Zisman, M.},
+     TITLE = {Calculus of fractions and homotopy theory},
+    SERIES = {Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 35},
+ PUBLISHER = {Springer-Verlag New York, Inc., New York},
+      YEAR = {1967},
+     PAGES = {x+168},
+   MRCLASS = {55.40 (18.00)},
+  MRNUMBER = {0210125},
+MRREVIEWER = {A. K. Bousfield},
+}
 % TODO KS richtige Auflage?
 @book {KS,
     AUTHOR = {Kashiwara, Masaki and Schapira, Pierre},
@@ -129,19 +164,51 @@ @book {KS
    MRCLASS = {58G07 (18F20 32C38 35A27)},
   MRNUMBER = {1299726},
 }
+@misc{WS,
+  Author = {Soergel, Wolfgang},
+  Institution = {Universität Freiburg},
+  Howpublished = {{Unveröffentlichte Aufzeichnungen}},
+  Pages = {1000--1005},
+  Year = 2018,
+  Month = feb,
+  Day = 22,
+  Title = {{Garben auf Simplizialkomplexen}},
+}
+@misc{TD,
+  Author = {Soergel, Wolfgang},
+  Institution = {Universität Freiburg},
+  Howpublished = {Skriptum},
+  Year = 2018,
+  Month = jul,
+  Day = 05,
+  Title = {{Derivierte Kategorien und Funktoren}},
+}
+@misc{AN3,
+  Author = {Soergel, Wolfgang},
+  Institution = {Universität Freiburg},
+  Howpublished = {Skriptum},
+  Year = 2018,
+  Month = oct,
+  Day = 04,
+  Title = {{Analysis 3}},
+}
 @misc{TG,
   Author = {Soergel, Wolfgang},
   Institution = {Universität Freiburg},
   Howpublished = {Skriptum},
-  Date = {2018-07-05},
-  Title = {Garbenkohomologie},
+  Year = 2018,
+  Month = jul,
+  Day = 05,
+  Title = {{Garbenkohomologie}},
 }
 @misc{TM,
   Author = {Soergel, Wolfgang},
   Institution = {Universität Freiburg},
   Howpublished = {Skriptum},
-  Date = {2018-10-02},
-  Title = {Topologie und kompakte Gruppen}
+  Year = 2018,
+  Month = oct,
+  Day = 02,
+  Title = {{Topologie und kompakte Gruppen}}
 }
 @book {Herrlich,
     AUTHOR = {Herrlich, Horst and Strecker, George E.},

ch01.tex

@@ -1,15 +1,10 @@
 % Emacs mode: -*-latex-*-
-% include latex header (\usepackage, \newcommand etc.) 
-\input{header.tex}
 
-\begin{document}
+\chapter{Garben auf Simplizialkomplexen}
+\label{ch:simp-comp}
 
-\title{Simpliziale Garben}
-\author{Fabian Glöckle}
-\date{\today}
-% \maketitle
-
-\chapter{Simplizialkomplexe von Garben}
+\section{Simplizialkomplexe von Garben}
+\label{sec:simp-comp-ord}
 
 \begin{defn}
   Ein Simplizialkomplex ist eine Menge $E$, genannt die Ecken des
@@ -291,4 +286,4 @@ \chapter{Simplizialkomplexe von Garben}
    ist also initial in einer solchen Überdeckung und die Limites über
    die beiden Systeme stimmen überein.
 \end{proof}
-\end{document}
+

ch02.tex

@@ -1,15 +1,7 @@
 % Emacs mode: -*-latex-*-
-% include latex header (\usepackage, \newcommand etc.) 
-\input{header.tex}
 
-\begin{document}
-
-\title{Simpliziale Garben}
-\author{Fabian Glöckle}
-\date{\today}
-% \maketitle
-
-\chapter{Schwach konstruierbare Garben auf Simplizialkomplexen}
+\section{Schwach konstruierbare Garben auf Simplizialkomplexen}
+\label{sec:simp-comp-sk}
 
 Ziel dieses Abschnitts ist es, eine geometrischere Charakterisierung
 von Garben auf einem Simplizialkomplex $\K$ zu geben. Wir werden
@@ -131,27 +123,26 @@ \chapter{Schwach konstruierbare Garben auf Simplizialkomplexen}
   \end{align*}
 
   Die Mengen $h(\{t\} \times U(\sigma))$ bilden für $t \in (0, 1]$
-    eine Umgebungsbasis von $x$, wir müssen also nur noch den Kolimes
-    der Schnitte über diese Mengen bestimmen. Bezeichne $\pi: (0, 1]
-      \times U(\sigma) \to U(\sigma)$ die Projektion auf den zweiten
-      Faktor. Nach der simplizialen Konstanz von $F$ und wegen $h(t,
-      y) \in |\tau| \Iff y \in |\tau|$ ist der Rückzug $h^* F$
-      konstant auf den Fasern von $\pi$ und lässt sich somit nach dem
-      zweiten nachgestellten Lemma schreiben als $\pi^* \pi_* h^* F
-      \iso h^* F$. Bezeichne $\iota_t: U(\sigma) \xhookrightarrow{}
-      (0, 1] \times U(\sigma)$ die Inklusion. Dann erhalten wir wie
-        gewünscht mit der Funktorialität des Rückzugs, $\pi \circ
-        \iota_t = \id_{U(\sigma)}$ sowie $\Gamma \pi_* = \Gamma$
-   \begin{align*}
+  eine Umgebungsbasis von $x$, wir müssen also nur noch den Kolimes
+  der Schnitte über diese Mengen bestimmen. Bezeichne $\pi: (0, 1]
+  \times U(\sigma) \to U(\sigma)$ die Projektion auf den zweiten
+  Faktor. Nach der simplizialen Konstanz von $F$ und wegen $h(t,
+  y) \in |\tau| \Iff y \in |\tau|$ ist der Rückzug $h^* F$
+  konstant auf den Fasern von $\pi$ und lässt sich somit nach dem
+  zweiten nachgestellten Lemma schreiben als $\pi^* \pi_* h^* F
+  \iso h^* F$. Bezeichne $\iota_t: U(\sigma) \xhookrightarrow{}
+  (0, 1] \times U(\sigma)$ die Inklusion. Dann erhalten wir wie
+    gewünscht mit der Funktorialität des Rückzugs und $\pi \circ
+  \iota_t = \id_{U(\sigma)}$
+
+  \begin{align*}
      F_x &\iso \colf\limits_{t \in (0, 1]} F(h(\{t\} \times U(\sigma))) \\
          &\iso \colf\limits_{t \in (0, 1]} \Gamma \iota_t^* h^* F \\
          &\iso \colf\limits_{t \in (0, 1]} \Gamma \iota_t^* \pi^* \pi_* h^* F \\
-         &\iso \Gamma \id^* \pi_* h^* F \\
-         &\iso \Gamma h^* F \\
-         &\iso \Gamma F = F(U(\sigma)),
-   \end{align*}
-   im letzten Schritt nach der Surjektivität von $h$.
-   % TODO surjektivität stimmt nicht, wird garbifiziert!
+         &\iso \colf\limits_{t \in (0, 1]} \Gamma \iota_1^* \pi^* \pi_* h^* F \\
+         &\iso \iota_1^* h^* F \\    
+         &\iso F(U(\sigma)).
+  \end{align*}
 \end{proof}
 \begin{bem} \label{beta-sect}
   Aus \autoref{eq:counit-sect} und \ref{itm:sk-char-res} folgt
@@ -174,7 +165,7 @@ \chapter{Schwach konstruierbare Garben auf Simplizialkomplexen}
   Garben-Isomorphismus.
 \end{proof}
 
-\begin{lemma}[\cite{TG}, 6.4.17]
+\begin{lemma}[\cite{TG}, 6.4.17] \label{constant-on-fibers}
   Sei $X$ ein topologischer Raum, $I \subset \R$ ein nichtleeres
   Intervall, $F \in \Ens_{/X \times I}$ eine Garbe und $\pi: X \times
   I \to X$ die Projektion auf den ersten Faktor. Ist $F$ konstant auf
@@ -255,8 +246,8 @@ \chapter{Schwach konstruierbare Garben auf Simplizialkomplexen}
     \iso & \AbKr(W, F).
   \end{align*}
   Dabei wurde die bekannte Adjunktion $(p^*, p_*)$ sowie im dritten
-  Schritt ``finaler Rückzug mit zusammenhängenden Fasern'' (\cite{TG},
-  4.3.22) benutzt.
+  Schritt das Lemma ``finaler Rückzug mit zusammenhängenden Fasern''
+  (\ref{final-pullback}) benutzt.
 \end{proof}
 
 \begin{lemma}[\cite{TG}, 4.3.22] \label{final-pullback}
@@ -510,5 +501,5 @@ \chapter{Schwach konstruierbare Garben auf Simplizialkomplexen}
   Eigenschaften der Situation fließen im Wesentlichen in \ref{sk-char}
   ein. Dies wird sich in \ref{ch??} als nützlich erweisen, um die
   Aussage für simpliziale Mengen zu formulieren.
+  % TODO add ref (if still needed)
 \end{bem}
-\end{document}

ch03.tex

@@ -1,15 +1,7 @@
 % Emacs mode: -*-latex-*-
-% include latex header (\usepackage, \newcommand etc.) 
-\input{header.tex}
 
-\begin{document}
-
-\title{Simpliziale Garben}
-\author{Fabian Glöckle}
-\date{\today}
-% \maketitle
-
-\chapter{Verallgemeinerte Garben}
+\section{Verallgemeinerte Garben}
+\label{sec:gen-sheaves}
 
 In diesem Abschnitt sollen die Beobachtungen der letzten beiden
 Abschnitte vereint werden. Nach Abschnitt
@@ -231,24 +223,24 @@ \subsection{Exkurs: Überlagerungen von Produkträumen}
 \begin{satz}
   Seien $X$ und $Y$ topologische Räume, $Y$ einfach
   zusammenhängend. Bezeichne $\pi: X \times Y \to X$ die
-  Projektion. Dann induzieren die Funktoren  
+  Projektion. Dann induzieren die Funktoren
   \[ \EnsX^{\lk}
   \mathrel{\mathop{\rightleftarrows}^{\pi^*}_{\pi_*}}
   \Ens_{/X \times Y}^{\lk} \]
   eine Äquivalenz von Kategorien.
 \end{satz}
 \begin{proof}
   Der Isomorphismus $F \iso \pi_* \pi^* F$ für $F \in \EnsX^{\lk}$ ist
-  gerade die Aussage zu finalem Rückzug mit zusammenhängender
-  Faser \ref{??}, da $Y$ zusammenhängend ist als einfach
+  gerade die Aussage zu finalem Rückzug mit zusammenhängender Faser
+  \ref{final-pullback}, da $Y$ zusammenhängend ist als einfach
   zusammenhängender Raum.
 
   Der Isomorphismus $\pi^* \pi_* F \iso F$ für $F \in \Ens_{/X \times
-  Y}^{\lk}$ folgt aus der Aussage zu faserkonstanten Garben \ref{??},
-  falls wir zeigen können, dass $F$ konstant ist auf den Fasern von
-  $\pi$. Tatsächlich ist aber $F|_{\pi^{-1}(x)}$ eine lokal konstante
-  Garbe auf $Y$ und mithin konstant wegen des einfachen Zusammenhangs
-  von $Y$. 
+    Y}^{\lk}$ folgt aus der Aussage zu faserkonstanten Garben
+  \ref{constant-on-fibers}, falls wir zeigen können, dass $F$ konstant
+  ist auf den Fasern von $\pi$. Tatsächlich ist aber
+  $F|_{\pi^{-1}(x)}$ eine lokal konstante Garbe auf $Y$ und mithin
+  konstant wegen des einfachen Zusammenhangs von $Y$.
 \end{proof}
 
 \subsection{Anwendung auf relativ schwach konstruierbare Garben} 
@@ -294,15 +286,19 @@ \subsection{Anwendung auf relativ schwach konstruierbare Garben}
   Der tieferstehende Grund für \ref{sheaves-prod-topos} und die sich
   daraus ergebende Möglichkeit, alle über $X = \point$ gezeigten
   Aussagen auch zu relativieren, ergibt sich daraus, dass es sich bei
-  $\Ens$ und $\EnsX$ beiden um \emph{elementare Topoi} handelt, also
+  $\Ens$ und $\EnsX$ um \emph{elementare Topoi} handelt, also
   Kategorien, die die wichtigsten Eigenschaften der Kategorie der
   Mengen verallgemeinern. Für die Übertragung von Aussagen von $\Ens$
-  auf andere Topoi ist entscheidend, dass diese über eine konstruktive
-  interne Logik verfügen, die etwa das Auswahlaxiom oder oder den Satz
-  vom ausgeschlossenen Dritten aus der klassischen Logik und
-  Mengenlehre nicht kennt. Argumente, die diese Eigenschaften der
-  klassischen Logik nicht benutzen, übertragen sich sofort auf andere
-  Topoi. Siehe \cite{MoerTopoi} für eine Darstellung dieser Ideen.
+  auf einen Topos $E$ verwendet man die
+  \emph{Mitchell-Bénabou-Sprache} (\cite{MoerTopoi}, VI.5) von
+  $E$. Die \emph{Kripke-Joyal-Semantik} (\cite{MoerTopoi}, VI.6) weist
+  Formeln der Mitchell-Bénabou-Sprache wieder logische Aussagen
+  zu. Mit dieser Übertragungstechnik bleiben Aussagen aus $\Ens$ in
+  $E$ gültig, wenn sie mittels ausschließlich \emph{konstruktiver}
+  Argumente beweisbar sind. Konkreter sind als Schlussregeln die
+  Regeln des intuitionistischen Prädikatenkalküls erlaubt, die sich
+  von den Schlussregeln der klassischen Logik unterscheiden: nicht
+  erlaubt sind Widerspruchsargumente (kein Satz vom ausgeschlossenen
+  Dritten) und die Verwendung des Auswahlaxioms (\cite{MoerTopoi},
+  VI.5, letzter Absatz).
 \end{bem}
-
-\end{document}