Skip to content

Commit

Permalink
Upd
Browse files Browse the repository at this point in the history
  • Loading branch information
@hazirliver
hazirliver committed Nov 30, 2019
1 parent ce6a883 commit 06e3a12
Show file tree
Hide file tree
Showing 16 changed files with 556 additions and 39 deletions.
32 changes: 29 additions & 3 deletions Differential_geometry/Tex_report/document.aux
View file
Original file line number Diff line number Diff line change
Expand Up @@ -82,15 +82,41 @@
\newlabel{eq41}{{41}{18}{Трактриса и её эволюта}{equation.3.41}{}}
\newlabel{eq42}{{42}{18}{Трактриса и её эволюта}{equation.3.42}{}}
\providecommand*\caption@xref[2]{\@setref\relax\@undefined{#1}}
\newlabel{ris:plot1}{{\caption@xref {ris:plot1}{ on input line 441}}{18}{Трактриса и её эволюта}{figure.caption.1}{}}
\newlabel{ris:plot1}{{\caption@xref {ris:plot1}{ on input line 439}}{18}{Трактриса и её эволюта}{figure.caption.1}{}}
\newlabel{eq43}{{43}{18}{Трактриса и её эволюта}{equation.3.43}{}}
\newlabel{eq44}{{44}{18}{Трактриса и её эволюта}{equation.3.44}{}}
\newlabel{eq45}{{45}{19}{Трактриса и её эволюта}{equation.3.45}{}}
\newlabel{eq46}{{46}{19}{Трактриса и её эволюта}{equation.3.46}{}}
\newlabel{eq47}{{47}{19}{Трактриса и её эволюта}{equation.3.47}{}}
\newlabel{ris:plot2}{{\caption@xref {ris:plot2}{ on input line 467}}{19}{Трактриса и её эволюта}{figure.caption.2}{}}
\newlabel{ris:plot2}{{\caption@xref {ris:plot2}{ on input line 465}}{19}{Трактриса и её эволюта}{figure.caption.2}{}}
\citation{Oprea}
\newlabel{eq48}{{48}{20}{Трактриса и её эволюта}{equation.3.48}{}}
\newlabel{eq49}{{49}{20}{Трактриса и её эволюта}{equation.3.49}{}}
\newlabel{eq50}{{50}{20}{Трактриса и её эволюта}{equation.3.50}{}}
\newlabel{ris:plot3}{{\caption@xref {ris:plot3}{ on input line 488}}{20}{Трактриса и её эволюта}{figure.caption.3}{}}
\newlabel{eq51}{{51}{21}{Трактриса и её эволюта}{equation.3.51}{}}
\newlabel{eq52}{{52}{21}{Трактриса и её эволюта}{equation.3.52}{}}
\newlabel{eq53}{{53}{21}{Трактриса и её эволюта}{equation.3.53}{}}
\newlabel{eq54}{{54}{21}{Трактриса и её эволюта}{equation.3.54}{}}
\newlabel{eq55}{{55}{21}{Трактриса и её эволюта}{equation.3.55}{}}
\newlabel{eq56}{{56}{21}{Трактриса и её эволюта}{equation.3.56}{}}
\newlabel{eq 57}{{57}{21}{Трактриса и её эволюта}{equation.3.57}{}}
\newlabel{eq58}{{58}{21}{Трактриса и её эволюта}{equation.3.58}{}}
\newlabel{eq59}{{59}{21}{Трактриса и её эволюта}{equation.3.59}{}}
\newlabel{eq60}{{60}{22}{Трактриса и её эволюта}{equation.3.60}{}}
\newlabel{eq61}{{61}{22}{Трактриса и её эволюта}{equation.3.61}{}}
\newlabel{eq62}{{62}{22}{Трактриса и её эволюта}{equation.3.62}{}}
\newlabel{eq63}{{63}{22}{Трактриса и её эволюта}{equation.3.63}{}}
\citation{Oprea}
\newlabel{eq64}{{64}{23}{Трактриса и её эволюта}{equation.3.64}{}}
\newlabel{eq65}{{65}{23}{Трактриса и её эволюта}{equation.3.65}{}}
\newlabel{eq66}{{66}{23}{Трактриса и её эволюта}{equation.3.66}{}}
\newlabel{eq67}{{67}{23}{Трактриса и её эволюта}{equation.3.67}{}}
\newlabel{eq68}{{68}{23}{Трактриса и её эволюта}{equation.3.68}{}}
\newlabel{eq69}{{69}{24}{Трактриса и её эволюта}{equation.3.69}{}}
\bibcite{Dimitrienko}{1}
\bibcite{Petrov}{2}
\bibcite{Rashevskiy}{3}
\bibcite{Shipov}{4}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{Список использованных источников}{21}{figure.caption.2}\protected@file@percent }
\bibcite{Oprea}{5}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{Список использованных источников}{25}{equation.3.69}\protected@file@percent }
Binary file added Differential_geometry/Tex_report/document.docx
View file
Binary file not shown.
17 changes: 9 additions & 8 deletions Differential_geometry/Tex_report/document.fdb_latexmk
View file
Original file line number Diff line number Diff line change
@@ -1,7 +1,8 @@
# Fdb version 3
["pdflatex"] 1574972394 "document.tex" "document.pdf" "document" 1574972398
["pdflatex"] 1575122129 "document.tex" "document.pdf" "document" 1575122133
"../img/plot1.png" 1574970216 13435 7f52fd083447c292c1c7583624419518 ""
"../img/plot2.png" 1574972109 6135 68ef5e04f2697e35e3511631561009b6 ""
"../img/plot3.png" 1575115331 118283 8cc5c334daa5ae6c01bc7140273d008d ""
"C:/Program Files/MiKTeX 2.9/fonts/tfm/jknappen/ec/tcrm0700.tfm" 993062506 1452 97bdc98984cb373fbcd868e2fa55f5f2 ""
"C:/Program Files/MiKTeX 2.9/fonts/tfm/jknappen/ec/tcrm1000.tfm" 993062508 1436 c7f957a372ef2fbe93c0982f96625e12 ""
"C:/Program Files/MiKTeX 2.9/fonts/tfm/jknappen/ec/tcrm1440.tfm" 993062510 1460 05250f74aea2bdcfe9d6766811b8b7b2 ""
Expand Down Expand Up @@ -108,13 +109,13 @@
"C:/Program Files/MiKTeX 2.9/tex/latex/tools/calc.sty" 1573424844 10216 54c740cb9d999378b16df7e5c92c17a0 ""
"C:/Program Files/MiKTeX 2.9/tex/latex/tools/indentfirst.sty" 1573424844 1619 81f309217cfe2e8a93458f2cc7188755 ""
"C:/Program Files/MiKTeX 2.9/tex/latex/tools/shellesc.sty" 1573424844 4120 e0cb2331fdd1cb772efdb3968e4cb07f ""
"document.aux" 1574972398 8600 da53016de5faeb3e1c575e5c5ac9863a "pdflatex"
"document.out" 1574972398 4980 a6cbeb2c3507449b478c1b84f98e0f06 "pdflatex"
"document.tex" 1574972393 34124 015a2f925639d985f6221f5a050eaa5e ""
"document.toc" 1574972398 2123 862f3a6e48d6a2f65416e5b3f35e4256 "pdflatex"
"document.aux" 1575122133 10680 4e0bea5f10c2a0e166051abe39f8aeaa "pdflatex"
"document.out" 1575122133 4977 36658a50fb7ae37a1938a229c1da4e1f "pdflatex"
"document.tex" 1575122128 39617 83e57c535b6dfcb566c7b15fb9640939 ""
"document.toc" 1575122133 2120 ae2be7844c2da7b7cf82d3f1542432d1 "pdflatex"
(generated)
"document.pdf"
"document.log"
"document.aux"
"document.out"
"document.toc"
"document.log"
"document.out"
"document.pdf"
5 changes: 5 additions & 0 deletions Differential_geometry/Tex_report/document.fls
View file
Original file line number Diff line number Diff line change
Expand Up @@ -329,6 +329,11 @@ INPUT ..\img\plot2.png
INPUT ..\img\plot2.png
INPUT ..\img\plot2.png
INPUT ..\img\plot2.png
INPUT ..\img\plot3.png
INPUT ..\img\plot3.png
INPUT ..\img\plot3.png
INPUT ..\img\plot3.png
INPUT ..\img\plot3.png
INPUT document.aux
INPUT .\document.out
INPUT .\document.out
Expand Down
48 changes: 27 additions & 21 deletions Differential_geometry/Tex_report/document.log
View file
Original file line number Diff line number Diff line change
@@ -1,4 +1,4 @@
This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.20 (MiKTeX 2.9.7250 64-bit) (preloaded format=pdflatex 2019.11.22) 28 NOV 2019 23:19
This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.20 (MiKTeX 2.9.7250 64-bit) (preloaded format=pdflatex 2019.11.22) 30 NOV 2019 16:55
entering extended mode
**./document.tex
(document.tex
Expand Down Expand Up @@ -1399,43 +1399,49 @@ Package hyperref Warning: Token not allowed in a PDF string (Unicode):
(hyperref) removing `math shift' on input line 315.

[13] [14] [15] [16] [17]
Overfull \hbox (9.38475pt too wide) in paragraph at lines 428--429
[]\T2A/ftm/m/n/14.4 ������������ ����� ���-��-��� ��-��-�� ��-��� ��-���-���� �
Overfull \hbox (12.07756pt too wide) in paragraph at lines 428--430
[]\T2A/ftm/m/n/14.4 ������������ ����� ���-��-��� ��-��-�� ��-��� ��-���-���� �
���-�� Maple18.
[]

<../img/plot1.png, id=245, 877.2775pt x 474.77374pt>
File: ../img/plot1.png Graphic file (type png)
<use ../img/plot1.png>
Package pdftex.def Info: ../img/plot1.png used on input line 439.
Package pdftex.def Info: ../img/plot1.png used on input line 437.
(pdftex.def) Requested size: 469.47049pt x 254.07751pt.
[18 <../img/plot1.png (PNG copy)>]
<../img/plot2.png, id=259, 401.5pt x 401.5pt>
File: ../img/plot2.png Graphic file (type png)
<use ../img/plot2.png>
Package pdftex.def Info: ../img/plot2.png used on input line 465.
Package pdftex.def Info: ../img/plot2.png used on input line 463.
(pdftex.def) Requested size: 399.05278pt x 399.07907pt.
[19 <../img/plot2.png (PNG copy)>] [20]
Package atveryend Info: Empty hook `BeforeClearDocument' on input line 488.
[21
[19 <../img/plot2.png (PNG copy)>]
<../img/plot3.png, id=269, 515.9275pt x 424.58624pt>
File: ../img/plot3.png Graphic file (type png)
<use ../img/plot3.png>
Package pdftex.def Info: ../img/plot3.png used on input line 486.
(pdftex.def) Requested size: 399.05278pt x 328.41603pt.
[20 <../img/plot3.png (PNG copy)>] [21] [22] [23] [24]
Package atveryend Info: Empty hook `BeforeClearDocument' on input line 614.
[25

]
Package atveryend Info: Empty hook `AfterLastShipout' on input line 488.
Package atveryend Info: Empty hook `AfterLastShipout' on input line 614.
(document.aux)
Package atveryend Info: Executing hook `AtVeryEndDocument' on input line 488.
Package atveryend Info: Executing hook `AtEndAfterFileList' on input line 488.
Package atveryend Info: Executing hook `AtVeryEndDocument' on input line 614.
Package atveryend Info: Executing hook `AtEndAfterFileList' on input line 614.
Package rerunfilecheck Info: File `document.out' has not changed.
(rerunfilecheck) Checksum: A6CBEB2C3507449B478C1B84F98E0F06;4980.
(rerunfilecheck) Checksum: 36658A50FB7AE37A1938A229C1DA4E1F;4977.

LaTeX Font Warning: Some font shapes were not available, defaults substituted.

Package atveryend Info: Empty hook `AtVeryVeryEnd' on input line 488.
Package atveryend Info: Empty hook `AtVeryVeryEnd' on input line 614.
)
Here is how much of TeX's memory you used:
28290 strings out of 492450
477856 string characters out of 3129685
586818 words of memory out of 3000000
32174 multiletter control sequences out of 15000+200000
28348 strings out of 492450
478452 string characters out of 3129685
589488 words of memory out of 3000000
32203 multiletter control sequences out of 15000+200000
549573 words of font info for 64 fonts, out of 3000000 for 9000
1141 hyphenation exceptions out of 8191
51i,18n,73p,941b,507s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,50000s
Expand All @@ -1451,9 +1457,9 @@ ic/amsfonts/cm/cmr7.pfb><C:/Program Files/MiKTeX 2.9/fonts/type1/public/amsfont
s/cm/cmsy10.pfb><C:/Program Files/MiKTeX 2.9/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cms
y7.pfb><C:/Program Files/MiKTeX 2.9/fonts/type1/public/amsfonts/symbols/msbm10.
pfb><C:/Program Files/MiKTeX 2.9/fonts/type1/public/pscyr/times.pfb>
Output written on document.pdf (22 pages, 232556 bytes).
Output written on document.pdf (26 pages, 366864 bytes).
PDF statistics:
338 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
97 named destinations out of 1000 (max. 500000)
171 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)
391 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
125 named destinations out of 1000 (max. 500000)
176 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)

2 changes: 1 addition & 1 deletion Differential_geometry/Tex_report/document.out
View file
Original file line number Diff line number Diff line change
Expand Up @@ -14,4 +14,4 @@
\BOOKMARK [2][-]{subsection.2.9}{\376\377\004\042\004\065\004\075\004\067\004\076\004\100\000\040\004\040\004\070\004\107\004\107\004\070}{section.2}% 14
\BOOKMARK [2][-]{subsection.2.10}{\376\377\004\042\004\065\004\075\004\067\004\076\004\100\000\040\004\055\004\071\004\075\004\110\004\102\004\065\004\071\004\075\004\060}{section.2}% 15
\BOOKMARK [1][-]{section.3}{\376\377\004\042\004\100\004\060\004\072\004\102\004\100\004\070\004\101\004\060\000\040\004\070\000\040\004\065\004\121\000\040\004\115\004\062\004\076\004\073\004\116\004\102\004\060}{}% 16
\BOOKMARK [1][-]{figure.caption.2}{\376\377\004\041\004\077\004\070\004\101\004\076\004\072\000\040\004\070\004\101\004\077\004\076\004\073\004\114\004\067\004\076\004\062\004\060\004\075\004\075\004\113\004\105\000\040\004\070\004\101\004\102\004\076\004\107\004\075\004\070\004\072\004\076\004\062}{}% 17
\BOOKMARK [1][-]{equation.3.69}{\376\377\004\041\004\077\004\070\004\101\004\076\004\072\000\040\004\070\004\101\004\077\004\076\004\073\004\114\004\067\004\076\004\062\004\060\004\075\004\075\004\113\004\105\000\040\004\070\004\101\004\102\004\076\004\107\004\075\004\070\004\072\004\076\004\062}{}% 17
Binary file modified Differential_geometry/Tex_report/document.pdf
View file
Binary file not shown.
Binary file modified Differential_geometry/Tex_report/document.synctex.gz
View file
Binary file not shown.
106 changes: 101 additions & 5 deletions Differential_geometry/Tex_report/document.tex
View file
Original file line number Diff line number Diff line change
Expand Up @@ -425,12 +425,10 @@ \subsection{Тензор Эйнштейна}

\newpage
\section{Трактриса и её эволюта}
практическую часть курсовой работы будем выполнять в среде Maple18.


Практическую часть курсовой работы будем выполнять в среде Maple18.\\
Определение 14. Трактриса (линия влечения) -- плоская кривая, для которой длина отрезка касательной от точки касания до точки пересечения с фиксированной прямой является постоянной величиной. Её параметрическое описание имеет вид:
\begin{align}
x(t) &= a ()\cdot \cos{t} + \ln{\tan{\frac{t}{2}}},\label{eq40}\\
x(t) &= a (\cdot \cos{t} + \ln{\tan{\frac{t}{2}}},\label{eq40})\\
y(t) &= \sin{t},\label{eq41}\\
0 &< t < \pi.\label{eq42}
\end{align}
Expand Down Expand Up @@ -474,29 +472,126 @@ \section{Трактриса и её эволюта}



Вращая полученную эволюту вокруг оси $OX$ получаем поверхность вращения, называемую катеноидом. Катеноид можно задать параметрически:
\begin{align}
x_{kat}(u,v) &= a\cdot \cosh{\frac{v}{a}}\cos{u},\label{eq48}\\
y_{kat}(u,v) &= a\cdot \cosh{\frac{v}{a}}\sin{u},\label{eq49}\\
z_{kat}(u,v) &= u,\label{eq50}
\end{align}
где $-\pi \leq u \leq \pi$ и $v \in \mathbb{R}$.


Построим полученную поверхность.
\begin{figure}[h]
\center{\includegraphics[width=0.85\linewidth]{../img/plot3.png}}
\caption*{Рисунок 3 -- Катеноид при $a=1$.}
\label{ris:plot3}
\end{figure}


Для вычисления Гауссовой и средней кривизн воспользуемся формулами из (\cite{Oprea}), позволяющими написать универсальный программный код.


Пусть $K$ -- Гауссова кривизна, а $H$ -- средняя. Введём дополнительные обозначения:

\begin{align}
E &= x_u \cdot x_u, \label{eq51}\\
F &= x_u \cdot x_v, \label{eq52}\\
G &= x_v \cdot x_v, \label{eq53}\\
l &= U \cdot x_{uu}, \label{eq54}\\
m &= U \cdot x_{uv}, \label{eq55}\\
n &= U \cdot x_{vv}, \label{eq56}
\end{align}
где $U$ -- единичный вектор нормали к поверхности:
\begin{equation}
U = \frac{x_u \times x_v}{|x_u \times x_v|}.\label{eq 57}
\end{equation}


Тогда Гауссова кривизна будет рассчитываться как
\begin{equation}\label{eq58}
K = \frac{lm - m^2}{EG-F^2},
\end{equation}
а средняя кривизна:
\begin{equation}\label{eq59}
H = \frac{Gl + En -2Fm}{2(EG-F^2)}.
\end{equation}

Рассчитаем введённые выше величины для нашего катеноида (\ref{eq48})-(\ref{eq50}):

\begin{equation}\label{eq60}
\begin{split}
E &= x_u \cdot x_u = \\
&= (1, \sinh{\frac{u}{a}} \cos{v}, \sinh{\frac{u}{a}} \sin{v}) \cdot (1, \sinh{\frac{u}{a}} \cos{v}, \sinh{\frac{u}{a}} \sin{v}) = \\
&= 1+\sinh{\frac{u}{a}}^2\cdot\cos^2{v}+\sinh{\frac{u}{a}}^2\cdot\sin^2{v}. \\
\end{split}
\end{equation}

\begin{equation}\label{eq61}
\begin{split}
F &= x_u \cdot x_v = \\
&= (1, \sinh{\frac{u}{a}} \cos{v}, \sinh{\frac{u}{a}} \sin{v}) \cdot (0, -a\cosh{\frac{u}{a}} \sin{v}, a\cosh{\frac{u}{a}} \cos{v})=\\
&= 0.
\end{split}
\end{equation}

\begin{equation}\label{eq62}
\begin{split}
G &= x_v \cdot x_v = \\
&= (0, -a\cosh{\frac{u}{a}} \sin{v}, a\cosh{\frac{u}{a}} \cos{v}) \cdot (0, -a\cosh{\frac{u}{a}} \sin{v}, a\cosh{\frac{u}{a}} \cos{v}) = \\ &= a^2 \cosh^2{\frac{u}{a}} \sin^2{v} + a^2 \cosh^2{\frac{u}{a}} \cos^2{v}.\\
\end{split}
\end{equation}


\begin{equation}\label{eq63}
\begin{split}
U &= \frac{x_u \times x_v}{|x_u \times x_v|} = \\
&= \frac{(0, -a\cosh{\frac{u}{a}} \sin{v}, a\cosh{\frac{u}{a}} \cos{v}) \times (0, -a\cosh{\frac{u}{a}} \sin{v}, a\cosh{\frac{u}{a}} \cos{v}) }{|(0, -a\cosh{\frac{u}{a}} \sin{v}, a\cosh{\frac{u}{a}} \cos{v}) \times (0, -a\cosh{\frac{u}{a}} \sin{v}, a\cosh{\frac{u}{a}} \cos{v})|} = \\
&= \frac{(a\cosh{\frac{u}{a}}\sinh{\frac{u}{a}}, -a \cosh{\frac{u}{a}}\cos{v}, -a \cosh{\frac{u}{a}} \sin{v})}{\sqrt{\cosh^4{\frac{u}{a}}a^2}} = \\
&= (\frac{\sinh{\frac{u}{a}}}{\cosh{\frac{u}{a}}},-\frac{\cos{v}}{\cosh{\frac{u}{a}}} ,-\frac{\sin{v}}{\cosh{\frac{u}{a}}}).
\end{split}
\end{equation}

\begin{equation}\label{eq64}
\begin{split}
l &= U \cdot x_{uu} = \\
&= (\frac{\sinh{\frac{u}{a}}}{\cosh{\frac{u}{a}}},-\frac{\cos{v}}{\cosh{\frac{u}{a}}} ,-\frac{\sin{v}}{\cosh{\frac{u}{a}}}) \cdot (0, \frac{\cosh{\frac{u}{a}}\cos{v}}{a}, \frac{\cosh{\frac{u}{a}}\sin{v}}{a}) = \\
&= -\frac{1}{a}.
\end{split}
\end{equation}

\begin{equation}\label{eq65}
\begin{split}
m &= U \cdot x_{uv} = \\
&= (\frac{\sinh{\frac{u}{a}}}{\cosh{\frac{u}{a}}},-\frac{\cos{v}}{\cosh{\frac{u}{a}}} ,-\frac{\sin{v}}{\cosh{\frac{u}{a}}}) \cdot (0, -\sinh{\frac{u}{a}}\sin{v}, \sinh{\frac{u}{a}}\cos{v}) = \\
&= 0.
\end{split}
\end{equation}


\begin{equation}\label{eq66}
\begin{split}
n &= U \cdot x_{vv} = \\
&= (\frac{\sinh{\frac{u}{a}}}{\cosh{\frac{u}{a}}},-\frac{\cos{v}}{\cosh{\frac{u}{a}}} ,-\frac{\sin{v}}{\cosh{\frac{u}{a}}}) \cdot (0, -a\cosh{\frac{u}{a}}\cos{v}, -a\cosh{\frac{u}{a}}\sin{v}) = \\
&= a.
\end{split}
\end{equation}

Теперь мы можем рассчитать Гауссову кривизну по формуле (\ref{eq58}):
\begin{equation}\label{eq67}
K = \frac{lm - m^2}{EG-F^2} = - \frac{1}{\cosh^4{\frac{u}{a}}a^2}.
\end{equation}

И среднюю кривизну по формуле (\ref{eq59}):
\begin{equation}\label{eq68}
H = \frac{Gl + En -2Fm}{2(EG-F^2)} = 0.
\end{equation}


Также из \cite{Oprea} известно, что скалярная кривизна равняется удвоенной гауссовой кривизне для римановых многообразий. Так что, обозначая скалярную кривизну за $SK$ имеем:
\begin{equation}\label{eq69}
SK = 2K = - \frac{2}{\cosh^4{\frac{u}{a}}a^2}.
\end{equation}



Expand All @@ -512,7 +607,8 @@ \section{Трактриса и её эволюта}
Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967, 664 с.
\bibitem{Shipov}
Шипов Г.И. Теория физического вакуума. НТ-Центр, 1993, 362 с.

\bibitem{Oprea}
Шипов Г.И. Теория физического вакуума. НТ-Центр, 1993, 362 с.
\end{thebibliography}

\end{document}
2 changes: 1 addition & 1 deletion Differential_geometry/Tex_report/document.toc
View file
Original file line number Diff line number Diff line change
Expand Up @@ -15,4 +15,4 @@
\contentsline {subsection}{\numberline {2.9}Тензор Риччи}{16}{subsection.2.9}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.10}Тензор Эйнштейна}{17}{subsection.2.10}%
\contentsline {section}{\numberline {3}Трактриса и её эволюта}{18}{section.3}%
\contentsline {section}{Список использованных источников}{21}{figure.caption.2}%
\contentsline {section}{Список использованных источников}{25}{equation.3.69}%
Binary file added Differential_geometry/img/plot3.png
View file
Loading
Sorry, something went wrong. Reload?
Sorry, we cannot display this file.
Sorry, this file is invalid so it cannot be displayed.
Binary file added Differential_geometry/kursa4.pdf
View file
Binary file not shown.
Loading

0 comments on commit 06e3a12

Please sign in to comment.