[练习 3.66]

chapter_3/README.md

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 	* P235 - [练习 3.64](./exercise_3_64.scm)
 	* P235 - [练习 3.65](./exercise_3_65.scm)
 	* P235 - [序对的无穷流](./pairs_stream.scm)
+	* P235 - [练习 3.66](./exercise_3_66.md)
 
 
 

chapter_3/exercise_3_66.md

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+## P235 - [练习 3.66]
+
+我们最初没有头绪，想到先打印 `(pairs integers integers)` 的项，来找找规律。加上序号，打印 30 项。
+
+```
+1: (1 1)
+2: (1 2)
+3: (2 2)
+4: (1 3)
+5: (2 3)
+6: (1 4)
+7: (3 3)
+8: (1 5)
+9: (2 4)
+10: (1 6)
+11: (3 4)
+12: (1 7)
+13: (2 5)
+14: (1 8)
+15: (4 4)
+16: (1 9)
+17: (2 6)
+18: (1 10)
+19: (3 5)
+20: (1 11)
+21: (2 7)
+22: (1 12)
+23: (4 5)
+24: (1 13)
+25: (2 8)
+26: (1 14)
+27: (3 6)
+28: (1 15)
+29: (2 9)
+30: (1 16)
+```
+
+为方便描述，我们用 num 记号来表示序对的序号。比如
+
+```
+num(1 1) = 1
+num(1 2) = 2
+num(2 2) = 3
+```
+
+### a)
+
+注意到 `(1 n)` 这些项有个规律，其排列顺序为
+
+```
+(1 1), (1 2), xx, (1 3), xx, (1 4), xx, (1 5), xx, (1 6)
+```
+
+其中 xx 是未知项，分析知道 (1 1) 和 (1 2) 之间序号相差 1。之后的序号就相差 2。根据这个规律。有
+
+```
+num(1 1) = 1                        ; n = 1
+num(1 2) = num(1 1) + 1 = 2         ; n = 2
+num(1 n) = num(1 2) + (n - 2) * 2   ; n > 2
+```
+
+于是就知道 (1 100) 的序号为
+
+```
+num(1 100) = 2 + 98 * 2 = 198
+```
+
+### b)
+
+除了 `(1 n)` 这些项，我们再来分析一些 `(n n)` 这些项，这些项位于对角线上，也比较特殊。在还没有头绪的时候，可以先特殊，再到一般。
+
+```
+1: (1 1)
+3: (2 2)
+7: (3 3)
+15: (4 4)
+```
+注意到，这些项也很有规律，其序号为。
+
+```
+num(n n) = 2^n - 1
+```
+
+为了验证这个规律，我们打印更多的项，有：
+
+```
+1: (1 1)
+3: (2 2)
+7: (3 3)
+15: (4 4)
+31: (5 5)
+63: (6 6)
+127: (7 7)
+```
+规律的确存在。于是，就知道 (100 100) 的序号为
+
+```
+num(100 100) = 2 ^ 100 - 1
+```
+
+### c)
+
+为了知道更一般序对的序号，我们先观察 (2 n) 的序号。
+
+```
+3: (2 2)
+5: (2 3)
+9: (2 4)
+13: (2 5)
+17: (2 6)
+21: (2 7)
+25: (2 8)
+29: (2 9)
+33: (2 10)
+```
+
+注意到 (2 2) 和 (2 3) 的序号相差 2，之后的序号就相差 4。于是就有
+
+```
+num(2 2) = 2 ^ 2 - 1 = 3            ; n = 2
+num(2 3) = num(2 2) + 2 = 5         ; n = 3
+num(2 n) = num(2 3) + (n - 3) * 4   ; n > 3
+```
+
+再观察 (3 n) 的序号
+
+```
+7: (3 3)
+11: (3 4)
+19: (3 5)
+27: (3 6)
+35: (3 7)
+43: (3 8)
+51: (3 9)
+```
+
+注意到 (3 3) 和 (3 4) 的序号相差 4，之后的序号就相差 8。于是有
+
+```
+num(3 3) = 2 ^ 3 - 1                ; n = 3
+num(3 4) = num(3 3) + 4             ; n = 4
+num(3 n) = num(3 4) + (n - 4) * 8   ; n > 4
+```
+
+再观察 (4 n) 的序号，有
+
+```
+15: (4 4)
+23: (4 5)
+39: (4 6)
+55: (4 7)
+71: (4 8)
+```
+
+于是
+
+```
+num(4 4) = 2 ^ 4 - 1                 ; n = 4
+num(4 5) = num(4 4) + 8              ; n = 5
+num(4 n) = num(4 5) + (n - 5) * 16   ; n > 5
+```
+
+将前面观察到的规律，全部放在一起。有
+
+```
+num(1 1) = 1                        ; n = 1
+num(1 2) = num(1 1) + 1 = 2         ; n = 2
+num(1 n) = num(1 2) + (n - 2) * 2   ; n > 2
+
+num(2 2) = 2 ^ 2 - 1 = 3            ; n = 2
+num(2 3) = num(2 2) + 2 = 5         ; n = 3
+num(2 n) = num(2 3) + (n - 3) * 4   ; n > 3
+
+num(3 3) = 2 ^ 3 - 1                ; n = 3
+num(3 4) = num(3 3) + 4             ; n = 4
+num(3 n) = num(3 4) + (n - 4) * 8   ; n > 4
+
+num(4 4) = 2 ^ 4 - 1                 ; n = 4
+num(4 5) = num(4 4) + 8              ; n = 5
+num(4 n) = num(4 5) + (n - 5) * 16   ; n > 5
+```
+
+我们可以猜测 `num(m n)，其中 n >= m` 的公式为
+
+```
+num(m, m) = 2 ^ m - 1                               ; n = m
+num(m, m + 1) = num(m, m) + 2 ^ (m - 1)             ; n = m + 1
+num(m, n) = num(m, m + 1) + [n - (m + 1)] * 2 ^ m   ; n > m + 1
+```
+
+### 验证
+
+我们来验证
+
+```
+175: (5 10)
+```
+这项
+
+```
+num(5 5) = 2 ^ 5 - 1 = 31
+num(5 6) = 31 + 2^(5-1) = 47
+num(5 10) = 47 + (10 - 6) * (2^5) = 175
+```
+
+公式得到验证。
+
+再来验证这项
+
+```
+639: (8 10)
+```
+
+```
+num(8 8) = 2^8 - 1 = 255
+num(8 9) = 255 + 2^(8-1) = 383
+num(8 10) = 383 + (10 - 9) * (2^8) = 639
+```
+