Add the section of Graph Traversal.

codes/java/chapter_graph/graph_adjacency_list.java

@@ -7,19 +7,13 @@
 package chapter_graph;
 
 import java.util.*;
-
-/* 顶点类 */
-class Vertex {
-    int val;
-    public Vertex(int val) {
-        this.val = val;
-    }
-}
+import include.*;
 
 /* 基于邻接表实现的无向图类 */
 class GraphAdjList {
-    // 请注意，vertices 和 adjList 中存储的都是 Vertex 对象
-    Map<Vertex, Set<Vertex>> adjList; // 邻接表（使用哈希表实现）
+    // 邻接表，使用哈希表来代替链表，以提升删除边、删除顶点的效率
+    // 请注意，adjList 中的元素是 Vertex 对象
+    Map<Vertex, List<Vertex>> adjList;
 
     /* 构造方法 */
     public GraphAdjList(Vertex[][] edges) {
@@ -59,26 +53,26 @@ public void removeEdge(Vertex vet1, Vertex vet2) {
     public void addVertex(Vertex vet) {
         if (adjList.containsKey(vet))
             return;
-        // 在邻接表中添加一个新链表（即 HashSet）
-        adjList.put(vet, new HashSet<>());
+        // 在邻接表中添加一个新链表
+        adjList.put(vet, new ArrayList<>());
     }
 
     /* 删除顶点 */
     public void removeVertex(Vertex vet) {
         if (!adjList.containsKey(vet))
             throw new IllegalArgumentException();
-        // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表（即 HashSet）
+        // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表
         adjList.remove(vet);
-        // 遍历其它顶点的链表（即 HashSet），删除所有包含 vet 的边
-        for (Set<Vertex> set : adjList.values()) {
-            set.remove(vet);
+        // 遍历其它顶点的链表，删除所有包含 vet 的边
+        for (List<Vertex> list : adjList.values()) {
+            list.remove(vet);
         }
     }
 
     /* 打印邻接表 */
     public void print() {
         System.out.println("邻接表 =");
-        for (Map.Entry<Vertex, Set<Vertex>> entry : adjList.entrySet()) {
+        for (Map.Entry<Vertex, List<Vertex>> entry : adjList.entrySet()) {
             List<Integer> tmp = new ArrayList<>();
             for (Vertex vertex : entry.getValue())
                 tmp.add(vertex.val);
@@ -90,25 +84,21 @@ public void print() {
 public class graph_adjacency_list {
     public static void main(String[] args) {
         /* 初始化无向图 */
-        Vertex v0 = new Vertex(1),
-               v1 = new Vertex(3),
-               v2 = new Vertex(2),
-               v3 = new Vertex(5),
-               v4 = new Vertex(4);
-        Vertex[][] edges = { { v0, v1 }, { v1, v2 }, { v2, v3 }, { v0, v3 }, { v2, v4 }, { v3, v4 } };
+        Vertex[] v = Vertex.valsToVets(new int[] { 1, 3, 2, 5, 4 });
+        Vertex[][] edges = { { v[0], v[1] }, { v[0], v[3] }, { v[1], v[2] }, { v[2], v[3] }, { v[2], v[4] }, { v[3], v[4] } };
         GraphAdjList graph = new GraphAdjList(edges);
         System.out.println("\n初始化后，图为");
         graph.print();
 
         /* 添加边 */
-        // 顶点 1, 2 即 v0, v2
-        graph.addEdge(v0, v2);
+        // 顶点 1, 2 即 v[0], v[2]
+        graph.addEdge(v[0], v[2]);
         System.out.println("\n添加边 1-2 后，图为");
         graph.print();
 
         /* 删除边 */
-        // 顶点 1, 3 即 v0, v1
-        graph.removeEdge(v0, v1);
+        // 顶点 1, 3 即 v[0], v[1]
+        graph.removeEdge(v[0], v[1]);
         System.out.println("\n删除边 1-3 后，图为");
         graph.print();
 
@@ -119,8 +109,8 @@ public static void main(String[] args) {
         graph.print();
 
         /* 删除顶点 */
-        // 顶点 3 即 v1
-        graph.removeVertex(v1);
+        // 顶点 3 即 v[1]
+        graph.removeVertex(v[1]);
         System.out.println("\n删除顶点 3 后，图为");
         graph.print();
     }

codes/java/chapter_graph/graph_adjacency_matrix.java

@@ -100,7 +100,7 @@ public static void main(String[] args) {
         /* 初始化无向图 */
         // 请注意，edges 元素代表顶点索引，即对应 vertices 元素索引
         int[] vertices = { 1, 3, 2, 5, 4 };
-        int[][] edges = { { 0, 1 }, { 1, 2 }, { 2, 3 }, { 0, 3 }, { 2, 4 }, { 3, 4 } };
+        int[][] edges = { { 0, 1 }, { 0, 3 }, { 1, 2 }, { 2, 3 }, { 2, 4 }, { 3, 4 } };
         GraphAdjMat graph = new GraphAdjMat(vertices, edges);
         System.out.println("\n初始化后，图为");
         graph.print();

codes/java/chapter_graph/graph_bfs.java

@@ -0,0 +1,53 @@
+/**
+ * File: graph_bfs.java
+ * Created Time: 2023-02-12
+ * Author: Krahets ([email protected])
+ */
+
+package chapter_graph;
+
+import java.util.*;
+import include.*;
+
+public class graph_bfs {
+    /* 广度优先遍历 BFS */
+    // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
+    static List<Vertex> graphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
+        // 顶点遍历序列
+        List<Vertex> res = new ArrayList<>();
+        // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
+        Set<Vertex> visited = new HashSet<>() {{ add(startVet); }};
+        // 队列用于实现 BFS
+        Queue<Vertex> que = new LinkedList<>() {{ offer(startVet); }};
+        // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
+        while (!que.isEmpty()) {
+            Vertex vet = que.poll(); // 队首顶点出队
+            res.add(vet);            // 记录访问顶点
+            // 遍历该顶点的所有邻接顶点
+            for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
+                if (visited.contains(adjVet))
+                    continue;        // 跳过已被访问过的顶点
+                que.offer(adjVet);   // 只入队未访问的顶点
+                visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
+            }
+        }
+        // 返回顶点遍历序列
+        return res;
+    }
+
+    public static void main(String[] args) {
+        /* 初始化无向图 */
+        Vertex[] v = Vertex.valsToVets(new int[] { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 });
+        Vertex[][] edges = { { v[0], v[1] }, { v[0], v[3] }, { v[1], v[2] }, { v[1], v[4] }, 
+                             { v[2], v[5] }, { v[3], v[4] }, { v[3], v[6] }, { v[4], v[5] },
+                             { v[4], v[7] }, { v[5], v[8] }, { v[6], v[7] }, { v[7], v[8] } };
+        GraphAdjList graph = new GraphAdjList(edges);
+        System.out.println("\n初始化后，图为");
+        graph.print();
+
+        /* 广度优先遍历 BFS */
+        List<Vertex> res = graphBFS(graph, v[0]);
+        System.out.println("\n广度优先遍历（BFS）顶点序列为");
+        System.out.println(Vertex.vetsToVals(res));
+    }
+}

codes/java/chapter_graph/graph_dfs.java

@@ -0,0 +1,51 @@
+/**
+ * File: graph_dfs.java
+ * Created Time: 2023-02-12
+ * Author: Krahets ([email protected])
+ */
+
+package chapter_graph;
+
+import java.util.*;
+import include.*;
+
+public class graph_dfs {
+    /* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
+    static void dfs(GraphAdjList graph, Set<Vertex> visited, List<Vertex> res, Vertex vet) {
+        res.add(vet);     // 记录访问顶点
+        visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
+        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
+        for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
+            if (visited.contains(adjVet))
+                continue; // 跳过已被访问过的顶点
+            // 递归访问邻接顶点
+            dfs(graph, visited, res, adjVet);
+        }
+    }
+
+    /* 深度优先遍历 DFS */
+    // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
+    static List<Vertex> graphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
+        // 顶点遍历序列
+        List<Vertex> res = new ArrayList<>();
+        // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
+        Set<Vertex> visited = new HashSet<>();
+        dfs(graph, visited, res, startVet);
+        return res;
+    }
+
+    public static void main(String[] args) {
+        /* 初始化无向图 */
+        Vertex[] v = Vertex.valsToVets(new int[] { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 });
+        Vertex[][] edges = { { v[0], v[1] }, { v[0], v[3] }, { v[1], v[2] }, 
+                             { v[2], v[5] }, { v[4], v[5] }, { v[5], v[6] } };
+        GraphAdjList graph = new GraphAdjList(edges);
+        System.out.println("\n初始化后，图为");
+        graph.print();
+
+        /* 深度优先遍历 BFS */
+        List<Vertex> res = graphDFS(graph, v[0]);
+        System.out.println("\n深度优先遍历（DFS）顶点序列为");
+        System.out.println(Vertex.vetsToVals(res));
+    }
+}

docs/chapter_graph/graph.md

@@ -22,15 +22,15 @@ $$
 
 根据边是否有方向，分为「无向图 Undirected Graph」和「有向图 Directed Graph」。
 
-- 在无向图中，边表示两结点之间“双向”的连接关系，例如微信或 QQ 中的“好友关系”；
+- 在无向图中，边表示两顶点之间“双向”的连接关系，例如微信或 QQ 中的“好友关系”；
 - 在有向图中，边是有方向的，即 $A \rightarrow B$ 和 $A \leftarrow B$ 两个方向的边是相互独立的，例如微博或抖音上的“关注”与“被关注”关系；
 
 ![directed_graph](graph.assets/directed_graph.png)
 
 根据所有顶点是否连通，分为「连通图 Connected Graph」和「非连通图 Disconnected Graph」。
 
-- 对于连通图，从某个结点出发，可以到达其余任意结点；
-- 对于非连通图，从某个结点出发，至少有一个结点无法到达；
+- 对于连通图，从某个顶点出发，可以到达其余任意顶点；
+- 对于非连通图，从某个顶点出发，至少有一个顶点无法到达；
 
 ![connected_graph](graph.assets/connected_graph.png)
 
@@ -52,6 +52,8 @@ $$
 
 设图的顶点数量为 $n$ ，「邻接矩阵 Adjacency Matrix」使用一个 $n \times n$ 大小的矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，使用 $1$ 或 $0$ 来表示两个顶点之间有边或无边。
 
+如下图所示，记邻接矩阵为 $M$ 、顶点列表为 $V$ ，则矩阵元素 $M[i][j] = 1$ 代表着顶点 $V[i]$ 到顶点 $V[j]$ 之间有边，相反地 $M[i][j] = 0$ 代表两顶点之间无边。
+
 ![adjacency_matrix](graph.assets/adjacency_matrix.png)
 
 邻接矩阵具有以下性质：

docs/chapter_graph/graph_operations.md

@@ -89,7 +89,7 @@ comments: true
 === "Zig"
 
     ```zig title="graph_adjacency_matrix.zig"
-
+    
     ```
 
 ## 9.2.2. 基于邻接表的实现
@@ -119,83 +119,89 @@ comments: true
 
 基于邻接表实现图的代码如下所示。
 
+!!! question "为什么需要使用顶点类 `Vertex` ？"
+
+    如果我们直接通过顶点值来区分不同顶点，那么值重复的顶点将无法被区分。
+    如果建立一个顶点列表，用索引来区分不同顶点，那么假设我们想要删除索引为 `i` 的顶点，则需要遍历整个邻接表，将其中 $> i$ 的索引全部执行 $-1$ ，这样的操作是比较耗时的。
+    因此，通过引入顶点类 `Vertex` ，每个顶点都是唯一的对象，这样在删除操作时就无需改动其余顶点了。
+
 === "Java"
 
     ```java title="graph_adjacency_list.java"
     [class]{Vertex}-[func]{}
-
+    
     [class]{GraphAdjList}-[func]{}
     ```
 
 === "C++"
 
     ```cpp title="graph_adjacency_list.cpp"
     [class]{Vertex}-[func]{}
-
+    
     [class]{GraphAdjList}-[func]{}
     ```
 
 === "Python"
 
     ```python title="graph_adjacency_list.py"
     [class]{Vertex}-[func]{}
-
+    
     [class]{GraphAdjList}-[func]{}
     ```
 
 === "Go"
 
     ```go title="graph_adjacency_list.go"
     [class]{vertex}-[func]{}
-
+    
     [class]{graphAdjList}-[func]{}
     ```
 
 === "JavaScript"
 
     ```javascript title="graph_adjacency_list.js"
     [class]{Vertex}-[func]{}
-
+    
     [class]{GraphAdjList}-[func]{}
     ```
 
 === "TypeScript"
 
     ```typescript title="graph_adjacency_list.ts"
     [class]{Vertex}-[func]{}
-
+    
     [class]{GraphAdjList}-[func]{}
     ```
 
 === "C"
 
     ```c title="graph_adjacency_list.c"
     [class]{vertex}-[func]{}
-
+    
     [class]{graphAdjList}-[func]{}
     ```
 
 === "C#"
 
     ```csharp title="graph_adjacency_list.cs"
     [class]{Vertex}-[func]{}
-
+    
     [class]{GraphAdjList}-[func]{}
     ```
 
 === "Swift"
 
     ```swift title="graph_adjacency_list.swift"
     [class]{Vertex}-[func]{}
-
+    
     [class]{GraphAdjList}-[func]{}
     ```
 
 === "Zig"
 
     ```zig title="graph_adjacency_list.zig"
     [class]{Vertex}-[func]{}
-
+    
     [class]{GraphAdjList}-[func]{}
     ```