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| Original file line number | Diff line number | Diff line change |
|---|---|---|
| @@ -0,0 +1,51 @@ | ||
| # MIT 18.06 线性代数笔记 | ||
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| > 课程：[麻省理工公开课：线性代数](http://open.163.com/special/opencourse/daishu.html) | ||
| > | ||
| > 作者：[子实](https://github.com/zlotus) | ||
| > | ||
| > 通过代码行数衡量开发进程就好比用重量来衡量飞机制造进度。——比尔·盖茨 | ||
| * [在线阅读](https://linalg.apachecn.org) | ||
| * [在线阅读（Gitee）](https://apachecn.gitee.io/mit-18.06-linalg-notes/) | ||
| * [ApacheCN 机器学习交流群 629470233](http://shang.qq.com/wpa/qunwpa?idkey=30e5f1123a79867570f665aa3a483ca404b1c3f77737bc01ec520ed5f078ddef) | ||
| * [ApacheCN 学习资源](http://www.apachecn.org/) | ||
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| ## 联系方式 | ||
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| ### 负责人 | ||
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| * [飞龙](https://github.com/wizardforcel): 562826179 | ||
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| ### 其他 | ||
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| * 在我们的 [apachecn/mit-18.06-linalg-notes](https://github.com/apachecn/mit-18.06-linalg-notes) github 上提 issue. | ||
| * 发邮件到 Email: `[email protected]`. | ||
| * 在我们的 [组织学习交流群](http://www.apachecn.org/organization/348.html) 中联系群主/管理员即可. | ||
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| ## 下载 | ||
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| ### PYPI | ||
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| ``` | ||
| pip install mit-18.06-linalg-notes | ||
| mit-18.06-linalg-notes <port> | ||
| # 访问 http://localhost:{port} 查看文档 | ||
| ``` | ||
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| ### NPM | ||
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| ``` | ||
| npm install -g mit-yiba-lingliu-linalg-notes | ||
| mit-yiba-lingliu-linalg-notes <port> | ||
| # 访问 http://localhost:{port} 查看文档 | ||
| ``` | ||
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| ### Docker | ||
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| ``` | ||
| docker pull apachecn0/mit-18-06-linalg-notes | ||
| docker run -tid -p <port>:80 apachecn0/mit-18-06-linalg-notes | ||
| # 访问 http://localhost:{port} 查看文档 | ||
| ``` |
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| Original file line number | Diff line number | Diff line change |
|---|---|---|
| @@ -0,0 +1,36 @@ | ||
| + [MIT 18.06 线性代数笔记](README.md) | ||
| + [第一讲：方程组的几何解释](chapter01.md) | ||
| + [第二讲：矩阵消元](chapter02.md) | ||
| + [第三讲：乘法和逆矩阵](chapter03.md) | ||
| + [第四讲：$A$ 的 $LU$ 分解](chapter04.md) | ||
| + [第五讲：转换、置换、向量空间R](chapter05.md) | ||
| + [第六讲：列空间和零空间](chapter06.md) | ||
| + [第七讲：求解$Ax=0$，主变量，特解](chapter07.md) | ||
| + [第八讲：求解$Ax=b$：可解性和解的结构](chapter08.md) | ||
| + [第九讲：线性相关性、基、维数](chapter09.md) | ||
| + [第十讲 四个基本子空间](chapter10.md) | ||
| + [第十一讲：矩阵空间、秩1矩阵和小世界图](chapter11.md) | ||
| + [第十二讲：图和网络](chapter12.md) | ||
| + [第十三讲：复习一](chapter13.md) | ||
| + [第十四讲：正交向量与子空间](chapter14.md) | ||
| + [第十五讲：子空间投影](chapter15.md) | ||
| + [第十六讲：投影矩阵和最小二乘](chapter16.md) | ||
| + [第十七讲：正交矩阵和Gram-Schmidt正交化法](chapter17.md) | ||
| + [第十八讲：行列式及其性质](chapter18.md) | ||
| + [第十九讲：行列式公式和代数余子式](chapter19.md) | ||
| + [第二十讲：克拉默法则、逆矩阵、体积](chapter20.md) | ||
| + [第二十一讲：特征值和特征向量](chapter21.md) | ||
| + [第二十二讲：对角化和$A$的幂](chapter22.md) | ||
| + [第二十三讲：微分方程和$e^{At}$](chapter23.md) | ||
| + [第二十四讲：马尔科夫矩阵、傅里叶级数](chapter24.md) | ||
| + [第二十五讲：复习二](chapter25.md) | ||
| + [第二十六讲：对称矩阵及正定性](chapter26.md) | ||
| + [第二十七讲：复数矩阵和快速傅里叶变换](chapter27.md) | ||
| + [第二十八讲：正定矩阵和最小值](chapter28.md) | ||
| + [第二十九讲：相似矩阵和若尔当形](chapter29.md) | ||
| + [第三十讲：奇异值分解](chapter30.md) | ||
| + [第三十一讲：线性变换及对应矩阵](chapter31.md) | ||
| + [第三十二讲：基变换和图像压缩](chapter32.md) | ||
| + [第三十三讲：单元检测3复习](chapter33.md) | ||
| + [第三十四讲：左右逆和伪逆](chapter34.md) | ||
| + [第三十五讲：期末复习](chapter35.md) |
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| Original file line number | Diff line number | Diff line change |
|---|---|---|
| @@ -0,0 +1,96 @@ | ||
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| # 第一讲：方程组的几何解释 | ||
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| 我们从求解线性方程组来开始这门课，从一个普通的例子讲起：方程组有$2$个未知数，一共有$2$个方程，分别来看方程组的“行图像”和“列图像”。 | ||
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| 有方程组$\begin{cases}2x&-y&=0\\-x&+2y&=3\end{cases}$，写作矩阵形式有$\begin{bmatrix}2&-1\\-1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}$，通常我们把第一个矩阵称为系数矩阵$A$，将第二个矩阵称为向量$x$，将第三个矩阵称为向量$b$，于是线性方程组可以表示为$Ax=b$。 | ||
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| 我们来看行图像，即直角坐标系中的图像： | ||
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| ```python | ||
| %matplotlib inline | ||
| import matplotlib.pyplot as plt | ||
| import numpy as np | ||
| import pandas as pd | ||
| import seaborn as sns | ||
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| x = [-2, 2, -2, 2] | ||
| y = [-4, 4, 0.5, 2.5] | ||
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| fig = plt.figure() | ||
| plt.axhline(y=0, c='black') | ||
| plt.axvline(x=0, c='black') | ||
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| plt.plot(x[:2], y[:2], x[2:], y[2:]) | ||
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| plt.draw() | ||
| ``` | ||
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|  | ||
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| ```python | ||
| plt.close(fig) | ||
| ``` | ||
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| 上图是我们都很熟悉的直角坐标系中两直线相交的情况，接下来我们按列观察方程组$x\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}$（我们把第一个向量称作$col_1$，第二个向量称作$col_2$，以表示第一列向量和第二列向量），要使得式子成立，需要第一个向量加上两倍的第二个向量，即$1\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}$。 | ||
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| 现在来看列图像，在二维平面上画出上面的列向量： | ||
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| ```python | ||
| from functools import partial | ||
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| fig = plt.figure() | ||
| plt.axhline(y=0, c='black') | ||
| plt.axvline(x=0, c='black') | ||
| ax = plt.gca() | ||
| ax.set_xlim(-2.5, 2.5) | ||
| ax.set_ylim(-3, 4) | ||
|
|
||
| arrow_vector = partial(plt.arrow, width=0.01, head_width=0.1, head_length=0.2, length_includes_head=True) | ||
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| arrow_vector(0, 0, 2, -1, color='g') | ||
| arrow_vector(0, 0, -1, 2, color='c') | ||
| arrow_vector(2, -1, -2, 4, color='b') | ||
| arrow_vector(0, 0, 0, 3, width=0.05, color='r') | ||
|
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| plt.draw() | ||
| ``` | ||
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|  | ||
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| ```python | ||
| plt.close(fig) | ||
| ``` | ||
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| 如图，绿向量$col_1$与蓝向量（两倍的蓝绿向量$col_2$）合成红向量$b$。 | ||
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| 接着，我们继续观察$x\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}$，$col_1,col_2$的某种线性组合得到了向量$b$，那么$col_1,col_2$的所有线性组合能够得到什么结果？它们将铺满整个平面。 | ||
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| 下面进入三个未知数的方程组：$\begin{cases}2x&-y&&=0\\-x&+2y&-z&=-1\\&-3y&+4z&=4\end{cases}$，写作矩阵形式$A=\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-3&4\end{bmatrix},\ b=\begin{bmatrix}0\\-1\\4\end{bmatrix}$。 | ||
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| 在三维直角坐标系中，每一个方程将确定一个平面，而例子中的三个平面会相交于一点，这个点就是方程组的解。 | ||
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| 同样的，将方程组写成列向量的线性组合，观察列图像：$x\begin{bmatrix}2\\-1\\0\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}-1\\2\\-3\end{bmatrix}+z\begin{bmatrix}0\\-1\\4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\-1\\4\end{bmatrix}$。易知教授特意安排的例子中最后一个列向量恰巧等于等式右边的$b$向量，所以我们需要的线性组合为$x=0,y=0,z=1$。假设我们令$b=\begin{bmatrix}1\\1\\-3\end{bmatrix}$，则需要的线性组合为$x=1,y=1,z=0$。 | ||
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| 我们并不能总是这么轻易的求出正确的线性组合，所以下一讲将介绍消元法——一种线性方程组的系统性解法。 | ||
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| 现在，我们需要考虑，对于任意的$b$，是否都能求解$Ax=b$？用列向量线性组合的观点阐述就是，列向量的线性组合能否覆盖整个三维向量空间？对上面这个例子，答案是肯定的，这个例子中的$A$是我们喜欢的矩阵类型，但是对另一些矩阵，答案是否定的。那么在什么情况下，三个向量的线性组合得不到$b$？ | ||
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| ——如果三个向量在同一个平面上，问题就出现了——那么他们的线性组合也一定都在这个平面上。举个例子，比如$col_3=col_1+col_2$，那么不管怎么组合，这三个向量的结果都逃不出这个平面，因此当$b$在平面内，方程组有解，而当$b$不在平面内，这三个列向量就无法构造出$b$。在后面的课程中，我们会了解到这种情形称为**奇异**、**矩阵不可逆**。 | ||
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| 下面我们推广到九维空间，每个方程有九个未知数，共九个方程，此时已经无法从坐标图像中描述问题了，但是我们依然可以从求九维列向量线性组合的角度解决问题，仍然是上面的问题，是否总能得到$b$？当然这仍取决于这九个向量，如果我们取一些并不相互独立的向量，则答案是否定的，比如取了九列但其实只相当于八列，有一列毫无贡献（这一列是前面列的某种线性组合），则会有一部分$b$无法求得。 | ||
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| 接下来介绍方程的矩阵形式$Ax=b$，这是一种乘法运算，举个例子，取$A=\begin{bmatrix}2&5\\1&3\end{bmatrix},\ x=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$，来看如何计算矩阵乘以向量： | ||
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| * 我们依然使用列向量线性组合的方式，一次计算一列，$\begin{bmatrix}2&5\\1&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}=1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}5\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}12\\7\end{bmatrix}$ | ||
| * 另一种方法，使用向量内积，矩阵第一行向量点乘$x$向量$\begin{bmatrix}2&5\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}^T=12,\ \begin{bmatrix}1&3\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}^T=7$。 | ||
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| 教授建议使用第一种方法，将$Ax$看做$A$列向量的线性组合。 |
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