feat: 每日一题 - 2019-09-15 - 水壶问题(azl397985856#170) (azl397985856#175)

* feat: 每日一题 - 2019-09-15 - 水壶问题(azl397985856#170)

* feat: bfs解法，部分格式问题

daily/2019-09-15.md

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+# 毎日一题 -  水壶问题
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+## 信息卡片
+
+* 时间：2019-09-15
+* 题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/water-and-jug-problem/
+* tag：`Math`  
+## 题目描述
+```
+给你一个装满水的 8 升满壶和两个分别是 5 升、3 升的空壶，请想个优雅的办法，使得其中一个水壶恰好装 4 升水，每一步的操作只能是倒空或倒满。
+```
+
+## 参考答案
+
+1.数学分析解答
+
+上面的问题是一个特例，我们可以抽象为[leetcode-365-水壶问题](https://leetcode-cn.com/problems/water-and-jug-problem/)。
+```
+有两个容量分别为 x升 和 y升 的水壶（壶1，壶2）以及无限多的水。请判断能否通过使用这两个水壶，从而可以得到恰好 z升 的水？
+```
+
+解题核心思路（x < y，即壶1容量小于壶2，x == y的情况后面讨论）：
+
+1. 将壶2倒满，往壶1倒入至满。
+2. 若壶1满，记录当前壶2中新水量。壶1倒出，将壶2中剩余的继续往壶1中倒入；（当壶1满，继续此操作，并记录当前壶2中新水量nw， 若此新水量已被记录，则）。
+3. 若出现壶1不满时（即此时壶2必空），重复操作1。
+
+开辟一个新数组nws记录所有新水量，对任意nws[i]，可构造的水量为nws[i]，nws[i]+x，nws[i]+y。
+
+（其实不需要新数组，因为数学上可以证明新水量的值循环周期呈现，故可以使用一个临时变量cur，当cur==x为终止条件）
+
+数学证明新水量nw值是循环周期的：
+![1111](<https://raw.githubusercontent.com/lvguofeng1303/markdownimage/master/daily/%E6%B0%B4%E5%A3%B6%E9%97%AE%E9%A2%98/math%20prove.jpg>)
+
+个别特殊情况考虑：
+
+- x == z || y == z;  **true**
+- x == 0 || x+y < z;  **false**
+- x+y == z || z == 0;  **true**
+
+```c++
+class Solution {
+public:
+    bool canMeasureWater(int x, int y, int z) {
+        if(x > y) return canMeasureWater(y, x, z); 
+        if(x == z || y == z) return true;
+        if(x == 0 || x+y < z) return false;
+        if(x+y == z || z == 0) return true;
+        int cur = y - x;
+        while(cur != x){
+            if(cur == z) return true;
+            if(cur > x){
+                if(cur + x == z) return true;
+                cur = cur - x;
+            }
+            else{
+                if(cur + y == z || cur + x == z) return true;
+                cur = y - x + cur;
+            }
+        }
+        return false;
+    }
+};
+```
+
+2.BFS
+
+不仅可以计算是否能获取 z 升水，而且可以获得最少多少操作可获取 z 升水。（缺点，无法通过，因为需要太大的空间，需要申请一个三维数组记录状态）
+
+核心思想就是状态转移问题：
+
+壶0（x+y），壶1（x），壶2（y），壶0是本是无限大水池，同理于定义为大小为x+y的壶。用bfs的思想，使用一个队列记录所有新的状态。
+
+对于任意状态（c，a，b），状态转移就是：
+
+- 若c不为0，将壶0倒水入壶1或壶2；若a不为0，将壶1倒水入壶0或壶2；若b不为0，将壶2倒水入壶0或壶1；
+- 记录每个新状态，并入队，若此状态访问过则不入队。
+
+特殊情况考虑同1。
+
+```c++
+class Solution {
+public:
+    struct state{
+        int nums[3];
+        state(int xy, int x, int y){
+            nums[0] = xy;
+            nums[1] = x;
+            nums[2] = y;
+        }
+    };
+    
+    state pour_water(state cur, int src, int det, int size[]){
+        state ans = cur;
+        int need_w = size[det] - cur.nums[det];
+        if(need_w <= cur.nums[src]){
+            ans.nums[det] += need_w;
+            ans.nums[src] -= need_w;
+        }
+        else{
+            ans.nums[det] += ans.nums[src];
+            ans.nums[src] = 0;
+        }
+        return ans;
+    }
+    
+    bool canMeasureWater(int x, int y, int z) {
+        if(x > y) return canMeasureWater(y, x, z);  //
+        if(x == z || y == z) return true;
+        if(x == 0 || x+y < z) return false;
+        if(x+y == z || z == 0) return true;
+        int visited[x+y+1][x+1][y+1];
+        int water_size[3] = {x+y, x, y};
+        memset(visited, 0, sizeof(visited));
+        state cur(x+y, 0, 0);
+        queue<state> q;
+        q.push(cur);
+        int step = 0;
+        while(!q.empty()){
+            int size = q.size();
+            while(size){
+                state temp(0, 0, 0);
+                cur = q.front();
+                if(cur.nums[1] + cur.nums[2] == z) return true;
+                visited[cur.nums[0]][cur.nums[1]][cur.nums[2]] = 1;
+                q.pop();
+                if(cur.nums[0] != 0){
+                    temp = pour_water(cur, 0, 1, water_size);
+                    if(visited[temp.nums[0]][temp.nums[1]][temp.nums[2]] != 1)
+                        q.push(temp);
+                    temp = pour_water(cur, 0, 2, water_size);
+                    if(visited[temp.nums[0]][temp.nums[1]][temp.nums[2]] != 1)
+                        q.push(temp);
+                }
+                if(cur.nums[1] != 0){
+                    temp = pour_water(cur, 1, 2, water_size);
+                    if(visited[temp.nums[0]][temp.nums[1]][temp.nums[2]] != 1)
+                        q.push(temp);
+                    temp = pour_water(cur, 1, 0, water_size);
+                    if(visited[temp.nums[0]][temp.nums[1]][temp.nums[2]] != 1)
+                        q.push(temp);
+                }
+                if(cur.nums[2] != 0){
+                    temp = pour_water(cur, 2, 1, water_size);
+                    if(visited[temp.nums[0]][temp.nums[1]][temp.nums[2]] != 1)
+                        q.push(temp);
+                    temp = pour_water(cur, 2, 0, water_size);
+                    if(visited[temp.nums[0]][temp.nums[1]][temp.nums[2]] != 1)
+                        q.push(temp);
+                }
+                size--;
+            }
+            step++;
+        }
+        return false;
+    }
+};
+```
+
+## 优秀解答
+
+>暂缺