Методы моделирования

Билет №1

Способы генерации псевдо-случайных величин.

Генерация псевдо-случайных чисел (ПСЧ) является важной задачей в вычислительной технике и моделировании. ПСЧ используются в различных областях, таких как криптография, моделирование, статистический анализ и компьютерные игры. Основные способы генерации ПСЧ включают:

1. Линейный конгруэнтный метод (ЛКМ): Это один из наиболее простых и широко используемых методов. ЛКМ задается рекуррентным соотношением: [ X_{n+1} = (aX_n + c) \mod m ] где (X_n) - последовательность ПСЧ, (a), (c) и (m) - параметры метода. Выбор параметров (a), (c) и (m) сильно влияет на качество и периодичность последовательности.

2. Метод Фибоначчи: ПСЧ генерируются с использованием рекуррентных соотношений, аналогичных числам Фибоначчи: [ X_n = (X_{n-1} + X_{n-2}) \mod m ] Этот метод обладает хорошими статистическими свойствами и длинными периодами.

3. Метод Мерсенна-Твистера: Это один из самых популярных генераторов ПСЧ, используемых в современных приложениях. Он обладает очень длинным периодом (2^19937−1) и хорошими статистическими характеристиками. Алгоритм использует рекуррентные соотношения и сложные матричные операции.

4. Метод инверсии: Этот метод основан на использовании обратной функции распределения. Для равномерно распределенного числа (U) на отрезке [0, 1] псевдо-случайная величина (X) со сложным распределением (F) может быть получена как: [ X = F^{-1}(U) ] где (F^{-1}) - обратная функция распределения (F).

5. Смешанные методы: Включают комбинацию различных подходов для улучшения статистических свойств и увеличения периода ПСЧ.

Принятие решений в условиях неопределенности.

Принятие решений в условиях неопределенности включает использование различных методов и подходов для оценки и выбора оптимальных решений, когда информация о будущем или текущих условиях неполна или ненадежна. Основные методы включают:

1. Классическая теория вероятностей: Использование статистических методов для оценки вероятностей различных исходов и принятия решений на основе ожидаемой полезности.

2. Теория нечетких множеств: Этот подход позволяет учитывать неточность и неопределенность в данных, используя нечеткие множества и логические правила для принятия решений.

3. Баесовский анализ: Использует априорные вероятности и обновляет их по мере поступления новой информации. Это позволяет принимать решения на основе вероятностных моделей и новых данных.

4. Методы анализа риска: Включают оценку и управление рисками, связанными с различными вариантами решений. Могут использоваться такие инструменты, как дерево решений и сценарный анализ.

5. Теория игр: Используется для моделирования ситуаций, где исход зависит от действий нескольких участников (игроков). Позволяет анализировать стратегии и прогнозировать поведение участников.

6. Эвристические методы: Включают использование правил большого пальца и интуитивных подходов для быстрого принятия решений в сложных и неопределенных ситуациях.

Билет №2

Простейший поток.

Простейший поток (поток Пуассона) является одним из основных типов случайных процессов, часто используемых для моделирования очередей, систем обслуживания и других стохастических систем. Характеристики простейшего потока включают:

1. Интенсивность потока ((\lambda)): Среднее количество событий (заявок) в единицу времени.

2. Экспоненциальное распределение времени между событиями: Время между двумя последовательными событиями в простейшем потоке экспоненциально распределено с параметром (\lambda).

3. Независимость событий: Времена между событиями независимы друг от друга.

4. Пуассоновское распределение числа событий: Число событий за фиксированный интервал времени (t) распределено по закону Пуассона: [ P(N(t) = k) = \frac{(\lambda t)^k e^{-\lambda t}}{k!} ] где (N(t)) - число событий за время (t).

Простейший поток часто используется для моделирования прихода заявок в системы обслуживания, транспортных потоков, звонков в колл-центры и других ситуаций, где события происходят случайным образом с постоянной средней интенсивностью.

Билет №3

Дисциплины буферизации.

Буферизация используется в системах передачи данных для сглаживания разницы между скоростью поступления и обработки данных. Основные дисциплины буферизации включают:

1. FIFO (First In, First Out): Данные обрабатываются в порядке их поступления. Это наиболее простая и широко используемая дисциплина.

2. LIFO (Last In, First Out): Последние поступившие данные обрабатываются первыми. Используется реже, в ситуациях, где приоритет отдается последним поступлениям.

3. Priority Queue: Данные имеют различные приоритеты, и обрабатываются в порядке их приоритетов. Внутри одного приоритета данные могут обрабатываться по принципу FIFO или другим способом.

4. Round Robin: Обработка данных происходит циклически, каждому элементу выделяется фиксированное время. Часто используется в системах с несколькими источниками данных.

5. Weighted Fair Queueing (WFQ): Данные распределяются по нескольким очередям с различными весами, что позволяет сбалансировать нагрузку и обеспечить справедливое распределение ресурсов.

Буферизация важна для обеспечения эффективной и надежной передачи данных в сетях, системах реального времени и других приложениях.

Билет №4

Методы получения случайной величины распределённой по заданному закону.

Для генерации случайных величин, распределенных по заданному закону, используются различные методы:

1. Метод инверсии: Используется для генерации случайных величин с непрерывными распределениями. Если (U) - равномерная случайная величина на ([0, 1]), то случайная величина (X = F^{-1}(U)), где (F) - функция распределения, будет иметь распределение (F).

2. Метод отбора (Acceptance-Rejection): Генерируются случайные точки в пространстве (например, прямоугольник), и отбираются те точки, которые попадают под график функции плотности вероятности.

3. Метод преобразования: Преобразование одной или нескольких случайных величин с известными распределениями в другую случайную величину с нужным распределением.

4. Метод сложения: Генерация случайной величины как суммы нескольких независимых случайных величин.

5. Метод таблиц: Используется для дискретных распределений, где для каждого значения случайной величины хранится соответствующая вероятность или интервал.

Эти методы обеспечивают гибкость и точность в моделировании случайных процессов и распределений.

Билет №5

Представление вычислительных систем в виде стохастической сети.

Стохастические сети используются для моделирования и анализа вычислительных систем, сетей связи, систем обслуживания и других сложных систем. Основные компоненты и характеристики стохастических сетей включают:

1. Узлы и дуги: Узлы представляют ресурсы или элементы системы (например, серверы, процессоры), дуги - пути передачи данных или заявок между узлами.

2. Интенсивности потоков: Средняя скорость, с которой заявки поступают в узлы и перемещаются между ними.

3. Параметры обслуживания: Характеристики времени обслуживания заявок в узлах, которые могут быть детерминированными или случайными.

4. Марковские цепи: Используются для описания состояний системы и переходов между ними в стохастических сетях.

5. Балансовые уравнения: Уравнения, описывающие равновесие между входящими и исходящими потоками заявок в узлах.

6. Системы массового обслуживания (СМО): Модель описывает процесс обслуживания заявок в узлах сети, включая такие характеристики, как среднее время ожидания, длина очереди и вероятность отказа.

Представление вычислительных систем в виде стохастических сетей позволяет анализировать их производительность, надежность и оптимизировать распределение ресурсов.

Билет №6

Система массового обслуживания с ограниченной длиной очереди и нетерпеливыми требованиями.

Система массового обслуживания (СМО) с ограниченной длиной очереди и нетерпеливыми требованиями характеризуется следующими свойствами:

1. Ограниченная длина очереди: Очередь может содержать не более (N) заявок. Если заявка поступает, когда очередь полна, она отклоняется или теряется.

2. Нетерпеливые требования: Заявки, которые не могут попасть в очередь, немедленно покидают систему (например, клиенты, которые не хотят ждать).

3. Основные параметры:

   • (\lambda) - интенсивность поступления заявок.
   • (\mu) - интенсивность обслуживания заявок.
   • (N) - максимальная длина очереди.

4. Вероятность отказа: Вероятность того, что заявка не сможет попасть в очередь из-за её переполнения.

5. Среднее время ожидания: Среднее время, которое заявка проводит в очереди перед обслуживанием.

6. Стационарные вероятности: Вероятности того, что система находится в каждом из возможных состояний (например, (P_0) - вероятность, что система пуста; (P_i) - вероятность, что в системе (i) заявок).

Моделирование таких систем позволяет оценить их производительность и оптимизировать параметры для уменьшения вероятности отказа и времени ожидания.

Билет №7

Интенсивность потоков и коэффициентов передач в стохастических цепях.

Стохастические цепи, такие как сети массового обслуживания, могут быть описаны параметрами интенсивности потоков и коэффициентами передач. Эти параметры помогают понять и моделировать поведение системы.

1. Интенсивность потоков ((\lambda)): Это средняя скорость поступления заявок в систему. Интенсивность потока измеряется как количество заявок в единицу времени. Например, если заявки поступают в среднем по 5 заявок в минуту, то (\lambda = 5).

2. Коэффициенты передач: Это вероятности переходов заявок между различными узлами или состояниями в сети. Коэффициенты передач могут быть определены для разных элементов сети и отражают вероятность того, что заявка будет передана из одного узла в другой.

   • (p_{ij}) — вероятность перехода заявки из узла (i) в узел (j).
   • Коэффициенты передач могут зависеть от текущего состояния системы и времени.

3. Системы с очередями и переходами:

   • В системах массового обслуживания (например, сети с несколькими серверами) интенсивность потока и коэффициенты передач помогают моделировать процесс обслуживания и распределение заявок между серверами.
   • В моделях стохастических сетей коэффициенты передач используются для описания маршрутов, которые заявка может пройти через сеть.

4. Примеры применения:

   • Телефонные сети: Интенсивность звонков и маршрутизация звонков через разные каналы.
   • Компьютерные сети: Интенсивность трафика данных и маршрутизация пакетов данных между узлами сети.
   • Производственные линии: Интенсивность поступления деталей и их передача между станциями обработки.

Билет №8

Структура разомкнутой стохастической сети.

Разомкнутая стохастическая сеть — это система, где заявки (или клиенты) входят и выходят из сети без циклических возвратов к уже пройденным узлам. Основные характеристики такой сети включают:

1. Узлы сети: Узлы представляют собой точки обработки или обслуживания заявок. Каждый узел может иметь свою интенсивность обслуживания ((\mu_i)).

2. Входящие и исходящие потоки:

   • Входящие потоки ((\lambda_i)) — интенсивность заявок, поступающих в сеть.
   • Исходящие потоки — интенсивность заявок, покидающих сеть после обработки.

3. Маршруты и коэффициенты передачи: Заявки перемещаются между узлами по определенным маршрутам с вероятностями переходов (коэффициентами передачи).

4. Среднее время пребывания: Среднее время, которое заявка проводит в сети, включая все узлы, через которые она проходит.

5. Примеры разомкнутых сетей:

   • Производственные системы: Движение деталей через последовательность станций обработки.
   • Транспортные системы: Пассажиры перемещаются через различные транспортные узлы (станции, аэропорты).
   • Компьютерные сети: Пакеты данных передаются через маршрутизаторы и коммутаторы до конечного назначения.

Билет №9

Разомкнутые и замкнутые стохастические сети.

Стохастические сети делятся на разомкнутые и замкнутые, в зависимости от структуры и поведения потоков заявок.

1. Разомкнутые стохастические сети:

   • Заявки входят в сеть, проходят через узлы и покидают её.
   • Типичное применение: производственные линии, транспортные системы, компьютерные сети.
   • Пример: Моделирование трафика на дороге, где автомобили (заявки) входят на дорогу, движутся по ней и выходят.

2. Замкнутые стохастические сети:

   • Заявки остаются в сети, циркулируя между узлами.
   • Количество заявок в сети фиксировано.
   • Типичное применение: системы с ограниченным ресурсом, где заявки (ресурсы) постоянно перераспределяются.
   • Пример: Многопроцессорные вычислительные системы, где задачи перемещаются между процессорами до завершения обработки.

Параметры стохастических сетей:

• Интенсивности потоков ((\lambda)): Средняя скорость поступления и обработки заявок.
• Коэффициенты передач: Вероятности переходов между узлами.
• Время ожидания и обслуживания: Среднее время, которое заявки проводят в узлах сети.

Билет №10

Нагрузка и загрузка. В чём отличие загрузки от нагрузки? В каких случаях нагрузка совпадает с загрузкой?

Нагрузка и загрузка:

1. Нагрузка (Load):

   • Нагрузка — это количество работы, которое система должна выполнить. Нагрузка может измеряться в заявках в единицу времени, объеме данных или других единицах измерения.
   • Пример: Количество запросов к серверу в минуту.

2. Загрузка (Utilization):

   • Загрузка — это степень использования ресурсов системы, выраженная в процентах. Загрузка показывает, как эффективно используются ресурсы (процессоры, память, каналы связи).
   • Пример: Загрузка процессора на 80%.

Отличие и совпадение:

• Отличие:

  • Нагрузка измеряет общий объем работы, который должен быть выполнен.
  • Загрузка измеряет использование конкретных ресурсов для выполнения этой работы.

• Совпадение:

  • Нагрузка и загрузка совпадают в ситуациях, когда система работает на пределе своих возможностей, и каждый поступивший запрос полностью использует доступные ресурсы.
  • Пример: Если сервер обрабатывает 100 запросов в секунду (нагрузка), и его процессор загружен на 100% (загрузка), то нагрузка совпадает с загрузкой.

Примеры:

• В вычислительных системах, когда сервер полностью загружен запросами пользователей, нагрузка и загрузка могут совпадать.
• В транспортных системах, когда дорога полностью загружена автомобилями, каждый новый автомобиль увеличивает как нагрузку (количество автомобилей), так и загрузку (использование дороги).