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content/bit/_index.md

@@ -11,14 +11,14 @@ theme="serif"
 
 ### 基础知识
 
-|符号|描述|运算规则|
-|:----:|:----:|:----:|
-|&|与|两个位都为1时，结果才为1|
-|\||或|两个位都为0时，结果才为0|
-|^|异或|两个位相同为0，相异为1|
-|~|取反|0变1，1变0|
-|<<|左移|各二进位全部左移若干位，高位丢弃，低位补0|
-|>>|右移|各二进位全部右移若干位|
+| 符号 | 描述 |         运算规则          |
+|:--:|:--:|:---------------------:|
+| &  | 与  |     两个位都为1时，结果才为1     |
+| \| | 或  |     两个位都为0时，结果才为0     |
+| ^  | 异或 |     两个位相同为0，相异为1      |
+| ~  | 取反 |        0变1，1变0        |
+| << | 左移 | 各二进位全部左移若干位，高位丢弃，低位补0 |
+| >> | 右移 |      各二进位全部右移若干位      |
 
 ---
 
@@ -48,18 +48,18 @@ int reversal(int a) {
 ```
 ---
 
-|功能|示例|位运算|
-|:----:|:----:|:----:|
-| 把右数第k位变成1| (101001->101101,k=3)| x \| (1 << (k-1)) |
-| 把右数第k位变成0| (101101->101001,k=3)| x & ~ (1 << (k-1)) |
-| 右数第k位取反| (101001->101101,k=3)| x ^ (1 << (k-1)) |
-| 取末三位| (1101101->101)| x & 7 |
-| 取末k位| (1101101->1101,k=5)| x & (1 << k-1) |
-| 把右边连续的1变成0| (100101111->100100000)| x & (x+1) |
-| 把右起第一个0变成1| (100101111->100111111)| x \| (x+1) |
-| 把右边连续的0变成1| (11011000->11011111)| x \| (x-1) |
-| 取右边连续的1| (100101111->1111)| (x ^ (x+1)) >> 1 |
-| 把右起第一个1变成0| (100101000->100100000)| x ^ (x-1) |
+|     功能     |           示例           |        位运算         |
+|:----------:|:----------------------:|:------------------:|
+| 把右数第k位变成1  |  (101001->101101,k=3)  | x \| (1 << (k-1))  |
+| 把右数第k位变成0  |  (101101->101001,k=3)  | x & ~ (1 << (k-1)) |
+|  右数第k位取反   |  (101001->101101,k=3)  |  x ^ (1 << (k-1))  |
+|    取末三位    |     (1101101->101)     |       x & 7        |
+|    取末k位    |  (1101101->1101,k=5)   |   x & (1 << k-1)   |
+| 把右边连续的1变成0 | (100101111->100100000) |     x & (x+1)      |
+| 把右起第一个0变成1 | (100101111->100111111) |     x \| (x+1)     |
+| 把右边连续的0变成1 |  (11011000->11011111)  |     x \| (x-1)     |
+|  取右边连续的1   |   (100101111->1111)    |  (x ^ (x+1)) >> 1  |
+| 把右起第一个1变成0 | (100101000->100100000) |     x ^ (x-1)      |
 
 
 {{% /section %}}

content/math/_index.md

@@ -201,16 +201,115 @@ func fib(n int) int {
 
 ---
 
-### answer 5
+给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。
+
+提示： 1 <= n <= 10000
+
+
+```
+输入：n = 12
+输出：3 
+解释：12 = 4 + 4 + 4
+```
+```
+输入：n = 13
+输出：2
+解释：13 = 4 + 9
+```
+---
+
+#### 方法一：动态规划
+
+{{% section %}}
+
+$f[i]$ 表示最少需要多少个数的平方来表示整数 $i$。
+这些数必然落在区间 $[1,\\sqrt{n}]$。
+$$
+f[i]=1+\\min_{j=1}^{\\lfloor\\sqrt{i}\\rfloor}{f[i-j^2]}
+$$
+
+---
+
+**复杂度分析**
+
+- 时间复杂度：$O(n\\sqrt{n})$，其中 $n$ 为给定的正整数。
+- 空间复杂度：$O(n)$。我们需要 $O(n)$ 的空间保存状态。
+---
 
 ```go
-package main
-func fib(n int) {
-	nums := [30]int{1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946,17711,28657,46368,75025,121393,196418,317811,514229,832040};
-	return nums[n-1];
+func numSquares(n int) int {
+    f := make([]int, n+1)
+    for i := 1; i <= n; i++ {
+        minn := math.MaxInt32
+        for j := 1; j*j <= i; j++ {
+            minn = min(minn, f[i-j*j])
+        }
+        f[i] = minn + 1
+    }
+    return f[n]
+}
+func min(a, b int) int {
+    if a < b {
+        return a
+    }
+    return b
+}
+```
+
+{{% /section %}}
+
+---
+
+#### 方法二：数学
+
+{{% section %}}
+
+`拉格朗日四平方和定理`: 任意一个正整数都可以被表示为至多四个正整数的平方和。 同时四平方和定理包含了一个更强的结论：当且仅当 $n = 4^k \\times (8m+7)$ 时，$n$ 可以被表示为至多三个正整数的平方和。因此，当 $n = 4^k \\times (8m+7)$ 时，$n$ 只能被表示为四个正整数的平方和。
+
+---
+
+[//]: # (当 $n ≠ 4^k \\times &#40;8m+7&#41;$ 时，我们需要判断到底多少个完全平方数能够表示 $n$，我们知道答案只会是 $1,2,3$ 中的一个：)
+-  $1$ ：则必有 $n$ 为完全平方数，这很好判断；
+-  $2$ ：则有 $n=a^2+b^2$，我们只需要枚举所有的 $a(1 \\leq a \\leq \\sqrt{n})$，判断 $n-a^2$ 是否为完全平方数即可；
+-  $3$ ：我们很难在一个优秀的时间复杂度内解决它，但我们只需要检查答案为 $1$ 或 $2$ 的两种情况，即可利用排除法确定答案。
+
+---
+
+```go [Golang]
+// 判断是否为完全平方数
+func isPerfectSquare(x int) bool {
+    y := int(math.Sqrt(float64(x)))
+    return y*y == x
+}
+// 判断是否能表示为 4^k*(8m+7)
+func checkAnswer4(x int) bool {
+    for x%4 == 0 {
+        x /= 4
+    }
+    return x%8 == 7
+}
+func numSquares(n int) int {
+    if isPerfectSquare(n) {
+        return 1
+    }
+    if checkAnswer4(n) {
+        return 4
+    }
+    for i := 1; i*i <= n; i++ {
+        j := n - i*i
+        if isPerfectSquare(j) {
+            return 2
+        }
+    }
+    return 3
 }
 ```
 
+- 时间复杂度：$O(\\sqrt{n})$
+- 空间复杂度：$O(1)$
+
+{{% /section %}}
+
 ---
 
 #### [下一节](/#/8)

content/others/_index.md

@@ -126,6 +126,10 @@ func majorityElement(nums []int) int {
 }
 ```
 
+---
+
+
+
 ---
 
 [更多算法](https://www.processon.com/view/link/5ff6ab75f346fb340dedc38c)