P.S.

Homework 8 在我的虚拟机（ubuntu 22.04）上编译运行时出现段错误，原因不明，但在另一虚拟机（ubuntu 20.04）上则可以正常编译运行

GAMES101 笔记

课程注解

旋转变换矩阵是正交矩阵

先线性变换再平移

$$ \begin{pmatrix} a&b&c&t_x\\ d&e&f&t_y\\ g&h&i&t_z\\ 0&0&0&1\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&0&0&t_x\\ 0&1&0&t_y\\ 0&0&1&t_z\\ 0&0&0&1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a&b&c&0\\ d&e&f&0\\ g&h&i&0\\ 0&0&0&1\\ \end{pmatrix} $$

$$ 变换=平移变换\times线性变换 $$

透视投影

对远端平面上的任意一点，x、y 坐标的缩放如下图所示

n 为原点与近端平面的距离

因此变换后的齐次坐标为

$$ \begin{pmatrix} nx/z\ny/z\z'\1 \end{pmatrix}==\begin{pmatrix} nx\ny\zz'\z \end{pmatrix} $$

设变换矩阵的为

$$ \begin{pmatrix} n&0&0&0\\ 0&n&0&0\\ A&B&C&D\\ 0&0&1&0\\ \end{pmatrix} $$

近端平面上任意一点的坐标不变（规定）为 n

$$ \begin{pmatrix} x\y\n\1 \end{pmatrix}==\begin{pmatrix} nx\ny\n^2\n \end{pmatrix} $$

因此

$$ \begin{pmatrix} A&B&C&D \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\y\n\1 \end{pmatrix}=Ax+By+Cn+D=n^2\\ =>A=B=0 $$

远端平面上任意一点的 z 坐标不变（规定）为 f

$$ \begin{pmatrix} 0&0&C&D \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\y\f\1 \end{pmatrix}=Cf+D=f^2 $$

联立解得

$$ C=n+f\\ D=-nf $$

因此透视投影的变换矩阵为

$$ \begin{pmatrix} n&0&0&0\\ 0&n&0&0\\ 0&0&n+f&-nf\\ 0&0&1&0\\ \end{pmatrix} $$

对梯形中的任意一点，变换之后的坐标为

$$ \begin{pmatrix} n&0&0&0\\ 0&n&0&0\\ 0&0&n+f&-nf\\ 0&0&1&0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\y\z\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} nx\ny\(n+f)z-nf\z \end{pmatrix}\\ 其中\ f\le z\le n\lt0 $$

计算可知

$$ \frac{(n+f)z-nf}{z}\le z $$

因此变换之后，梯形体内部的 z 坐标相比变换前变小了，也即变远了

时域上的卷积等于频域上的乘积

傅里叶变换的性质

$$ F[f_1(t)]=F_1(x)\\ F[f_2(t)]=F_2(x)\\ F[f_1*f_2]=F_1\times F_2 $$

三维空间中三角形内点的重心坐标，在投影到二维平面上后发生改变

因此对像素做插值时，应该先将像素中心坐标变换回原三角形中的坐标，再求其重心坐标并插值

双向反射分布函数（BRDF）

对任意入射光线，在任意反射方向下的反射能量的分布，定义材质的反射性质

$$ f_r(\omega_i\rightarrow\omega_r)=\frac{dL_r(\omega_r)}{dE_i(\omega_i)}=\frac{dL_r(\omega_r)}{L_i(\omega_i)\cos{\theta_i}d\omega_i} $$

反射方程

对所有入射方向做积分（也即对所有入射光线求和）

$$ L_r(p,\omega_r)=\int_{H^2}f_r(p,\omega_i\rightarrow\omega_r)L_i(p,\omega_i)\cos{\theta_i}d\omega_i\\ =\int_{H^2}f_r(p,\omega_i\rightarrow\omega_r)E_i(p,\omega_i) $$

递归则描述光线多次反射的过程

渲染方程

在反射方程中加入自发光项

$$ L_o(p,\omega_o)=L_e(p,\omega_o)+\int_{\Omega^+}L_i(p,\omega_i)f_r(p,\omega_i,\omega_o)(n\cdot\omega_i)d\omega_i $$

由于光线可以在物体表面间弹射，为了求解全局光照，将渲染方程记作如图形式

对入射光线求反射的过程可以简写为一个算符

即得全局光照方程，其中各项的物理意义即为：光源项、表面反射项、弹射一次的表面反射项、弹射两次的表面反射项等

其中除前两项（直接光照）外，（间接光照）更适合用光线追踪方法完成

蒙特卡洛积分

以积分的积分域为定义域取一随机变量$X$，求出其概率密度函数，进行多次采样，然后求平均值

特殊情况：均匀采样

从 Whitted-Style 光线追踪到路径追踪

首先，渲染方程没有错误，但其中有两个问题

$$ L_o(p,\omega_o)=L_e(p,\omega_o)+\int_{\Omega^+}L_i(p,\omega_i)f_r(p,\omega_i,\omega_o)(n\cdot\omega_i)d\omega_i $$

1. 包含积分项
2. 包含递归定义

解决的方法：

1. 蒙特卡洛积分

   

2. 图中蓝色 Else 项即为间接光照项。若遇到其他物体，则进行递归

   

新的问题：

1. 随着递归次数增加，光线数量爆炸

   

   若只使用一根光线进行蒙特卡洛积分的采样，则光线数量不会爆炸

   为了使结果有意义，使用更多的光线（路径）对同一个像素采样即可

   

   

2. 新的算法依然是递归，且没有停止条件。若限制光线弹射次数，那么最终结果一定相比实际结果损失能量 使用“俄罗斯轮盘赌”方法，p 的概率返回值为 Lo/p ，1-p 的概率返回值为 0 ，如此一来结果的期望依然是 Lo ，即期望是实际结果

   

   

改进路径追踪效率低下的问题

在上述算法中，蒙特卡洛积分在$2\pi$大小的立体角上随机采样，当光源小、少时效率低下，因此直接对光源采样

更改积分域

因此，对直接光照的计算只需要通过对光源采样，直接计算；而对间接光照，使用“俄罗斯轮盘赌”法，对$2\pi$立体角采样

在对光源采样时，需要从视点发出一根光线，检测和光源之间是否有阻挡

什么是材质（Material）

材质是物体与光线作用的方式，因此在物体表面，材质就是物体反射光的方式，就是 BRDF

漫反射材质

假设入射光在空间中均匀分布，出射光在半球面方向上（$2\pi$立体角上）均匀分布，那么图中$f_r$，$L_i$是常数

若漫反射完全不损耗能量，那么$L_i=L_o$，得到$f_r=\frac{1}{\pi}$。若漫反射存在能量损耗，则$f_r=\frac{\rho}{\pi}$，其中$\rho$是反射率，可定义不同的颜色

菲涅尔效应

入射角越大，反射的能量越多

菲涅尔项的准确计算和近似估计

微表面模型（Microfacet Material）

远处观察到的是光滑物体表现出的不同的材质，近处观察到的不同的几何形状，材质的不同取决于物体微表面的几何形状

材质的粗糙程度取决于物体微表面的法线分布

其中$D(h)$为微表面法线方向的分布函数，$h$为出射方向和入射方向的 half vector

在微表面模型中，只有法线方向和$h$相同的微表面才能将光线从入射方向反射到出射方向

其中$G(i,o,h)$为不同方向的微表面在反射时发生遮挡导致的损耗，在入射方向或出射方向几乎与法线方向垂直时，将产生较大遮挡损耗

微表面模型可以用来描述各向异性材质

各向异性的 BRDF 与各向同性的 BRDF 的区别在于，各向同性的 BRDF 相当于是一个三元函数，且由光路可逆，具有良好的对称性

光场 全光函数

全光函数描述在空间中的任意一点，向任何一个方向看到的颜色（波长）信息，也即从任何方向接收到的颜色（波长）信息

光场可以用来描述物体在各个方向上被看到的信息

光场描述在任意位置上，向任意方向发出的光线的颜色（波长）信息

在物体的表面上取一包围盒，记录包围盒上任意一点向外发出的任意方向的光线的颜色（波长）信息，就是该物体的光场

光场通常是一个四维函数，描述方式有两种：

1. 二维表面上的一点、球坐标方向
2. 两个二维表面上的点形成光线方向