作业1及笔记

一些笔记.md

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+# GAMES101 笔记
+
+## 课程注解
+
+### 旋转变换矩阵是正交矩阵
+
+
+### 先平移再线性变换
+
+$$
+\begin{pmatrix}
+a&b&c&t_x\\
+d&e&f&t_y\\
+g&h&i&t_z\\
+0&0&0&1\\
+\end{pmatrix}=
+\begin{pmatrix}
+a&b&c&0\\
+d&e&f&0\\
+g&h&i&0\\
+0&0&0&1\\
+\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
+1&0&0&t_x\\
+0&1&0&t_y\\
+0&0&1&t_z\\
+0&0&0&1\\
+\end{pmatrix}
+
+$$
+
+
+$$
+变换=线性变换\times平移变换
+$$
+
+
+### 透视投影
+
+![1689059400149](image/一些笔记/1689059400149.png)
+
+对远端平面上的任意一点，x、y坐标的缩放如下图所示
+
+n为原点与近端平面的距离
+
+![1689059532544](image/一些笔记/1689059532544.png)
+
+因此变换后的齐次坐标为
+
+$$
+\begin{pmatrix}
+nx/z\\ny/z\\z'\\1
+\end{pmatrix}==\begin{pmatrix}
+nx\\ny\\zz'\\z
+\end{pmatrix}
+$$
+
+设变换矩阵的为
+
+$$
+\begin{pmatrix}
+n&0&0&0\\
+0&n&0&0\\
+A&B&C&D\\
+0&0&1&0\\
+\end{pmatrix}
+$$
+
+近端平面上任意一点的坐标不变（规定）为n
+
+$$
+\begin{pmatrix}
+x\\y\\n\\1
+\end{pmatrix}==\begin{pmatrix}
+nx\\ny\\n^2\\n
+\end{pmatrix}
+$$
+
+因此
+
+$$
+\begin{pmatrix}
+A&B&C&D
+\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
+x\\y\\n\\1
+\end{pmatrix}=Ax+By+Cn+D=n^2\\
+=>A=B=0
+$$
+
+远端平面上任意一点的z坐标不变（规定）为f
+
+$$
+\begin{pmatrix}
+0&0&C&D
+\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
+x\\y\\f\\1
+\end{pmatrix}=Cf+D=f^2
+$$
+
+联立解得
+
+$$
+C=n+f\\
+D=-nf
+$$
+
+因此透视投影的变换矩阵为
+
+$$
+\begin{pmatrix}
+n&0&0&0\\
+0&n&0&0\\
+0&0&n+f&-nf\\
+0&0&1&0\\
+\end{pmatrix}
+$$
+
+对梯形中的任意一点，变换之后的坐标为
+
+$$
+\begin{pmatrix}
+n&0&0&0\\
+0&n&0&0\\
+0&0&n+f&-nf\\
+0&0&1&0\\
+\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
+x\\y\\z\\1
+\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
+nx\\ny\\(n+f)z-nf\\z
+\end{pmatrix}\\
+其中\ f\le z\le n\lt0
+$$
+
+计算可知
+
+$$
+\frac{(n+f)z-nf}{z}\le z
+$$
+
+因此变换之后，梯形体内部的z坐标相比变换前变小了，也即变远了