集合、悖論與數學危機

悖論與數學危機

集合的種類

在上一章的數論當中，那些數形成了《集合》，集合的元素個數，大致可分為下列情況：

1. 有限集合：例如小於 10 的自然數，介於 10 到 20 之間的整數等等。
2. 無限集合：例如整數、有理數、實數、複數所形成的集合。

但是無限集合當中，又可以分為《可數無限集合》和《不可數無限集合》。

所謂的《可數無限集合》，是可以和《自然數》一對一對映的集合，而《不可數無限集合》，則是比《自然數》多，可以證明無法和《自然數一對一對映的集合，像是《實數》、《複數》等等。

康托爾(Cantor) 提出一個著名的 《對角證法》，證明了實數的數量為 《不可數無限多》 ，無法和《自然數》一對一對映！

這種《探討集合內容與運算》、《界定集合邊界》的數學，就稱為集合論。

集合論可以說是《整個數學大廈》的基礎，在數學發展的過程當中，集合論曾經出現過一些問題，而這些問題往往醞釀出嚴重的《數學危機》。

這些危機，往往和一些《悖論》有關！

悖論

第一次數學危機

在公元前五世紀的古代，《畢達哥拉斯》學派是數學的一個神祕學派，它們相信所有的數都可以化成 p/q 這樣的比例 (ratio) ，也就是《有理數》 (rational number, 通常用 Q 代表)。

但是畢達哥拉斯學派弟子希伯斯發現。他以幾何方法證明 $\sqrt{2}$ 無法用《比例》表示，也就是無法寫成 p/q。換句話說 $\sqrt{2}$ 不是有理數，或者說是無理數。

後來希伯斯觸犯學派章程，將無理數透露給外人，因而被處死，其罪名竟然等同於「瀆神」。這就是所謂的 第一次數學危機。

第一次的數學危機，導致了《無理數》的發現，因此才會建立《實數》的概念，甚至後來還建立了《複數》。

第二次數學危機

第二次數學危機，是由《無窮小》這個概念所引發的，因為《無窮小》所造成的弔詭現象，古希臘的《芝諾》提出了幾個悖論：

芝諾的第一個悖論稱為《飛矢不動論》，描述如下：

芝諾問他的學生 「一支射出的箭是動的還是不動的？」
「那還用說，當然是動的。」
「確實是這樣，在每個人的眼裡它都是動的。
  可是，這支箭在每一個瞬間裡都有它的位置嗎？」
「有的，老師。」
「在這一瞬間裡，它佔據的空間和它的體積一樣嗎？」
「有確定的位置，又佔據著和自身體積一樣大小的空間。」
「那麼，在這一瞬間裡，這支箭是動的，還是不動的？」
「不動的，老師」
「這一瞬間是不動的，那麼其他瞬間呢？」
「也是不動的，老師」
「所以，射出去的箭是不動的？」

芝諾的第二個悖論是《阿基里斯永遠追不上烏龜》，那阿基里斯就是希臘神話中最勇猛的英雄，參與了特洛伊戰爭，被稱為「希臘第一勇士」。

芝諾說，這個跑得超快的勇士，永遠追不上一隻爬得超慢的烏龜！

芝諾悖論之「阿基里思與烏龜」 論述如下：

動得最慢的物體不會被動得最快的物體追上。

由於追趕者首先應該達到被追者出發之點，此時被追者
已經往前走了一段距離。

因此被追者總是在追趕者前面。 

來源：—亞里士多德, 物理學 VI:9, 239b15

Zeno's paradoxes：Achilles and the tortoise

– In a race, the quickest runner can never 
overtake the slowest, since the pursuer 
must first reach the point whence the 
pursued started, so that the slower must 
always hold a lead.

在HPM（數學史與數學教學，History and Pedagogy of Mathematics）這份研究中，列出了相關數學家對無窮小的看法：

人物	年代	對無窮小量的觀點，或處理方法
芝諾（希臘語：Ζήνων)	約前490年－前430年	提出飛矢不動論、阿基里斯跑不過烏龜等悖論
歐幾里得	公元前300年	窮竭法：他們相信用間接法才能使面積問題獲得嚴格證明。
卡瓦列里（B. Cavalieri）	1598-1647	把無窮小量的辦法推進了一步(見祖暅原理)
沃利斯（J. Wallis）	1616-1703	他對極限的定義「含有正確的想法，但用詞不嚴謹」
萊布尼茲	1646-1716	其演算法很成功，但「對概念不太確定」。他對於「消失中的量」的立場是複雜的，而且隨時間而變。
歐拉	1707-1783	獲得了很多重要結果，但不考慮真正無窮小量帶來的困難。其觀點受十七世紀典型的科學思維框架影響。
達朗貝爾（J. d'Alembert）	1717-1783	拒絕承認「消失中的量」。他給出過極限的定義，但措辭不明確。
拉格朗日	1736-1813	也拒絕承認無窮小量，企圖把微積分歸結為代數。
柯西	1789-1857	其寫下的定義至今依然通用，由當時可以使用的數學語言寫成。

這個數學危機，一直從古希臘時代就存在了，直到 19 世紀初柯西（法語：Augustin Louis Cauchy) 寫了一系列的分析學論文，將微積分嚴格公理化之後，才算解決了此一問題。

19世紀微積分學的準則並不嚴格，柯西拒絕當時微積分學的說法，並定義了一系列的微積分學準則。他一生共發表800多篇論文。其中較為有名的是《分析教程》、《無窮小分析教程概論》和《微積分在幾何上的應用》。

柯西建構起我們大學時期微積分所要學的那種無窮小 $\epsilon$ 理論，讓微積分成為一門嚴格而沒有矛盾的數學，解決了第二次的數學危機。

這門建構《微積分基礎》的數學，就稱為《分析學》！

第三次數學危機

第三次數學危機的主角，正是集合論，關鍵人物是《康托爾》和《羅素》。

1870年代由《康托爾及理察·戴德金》提出的《樸素集合論》，後來被更加精確地構建為 《公理化集合論》 ，以解決《樸素集合論》中的《悖論》問題。

最著名的《樸素集合論》悖論，是羅素所提出的，描述如下

由《所有不包含集合自身的集合所構成的集合》用數學符號表示為:

    A={x|x ∉ x}
    
問題是： A 自己到底算不算 A 的成員呢？    

仔細分析、您可以看到其中的矛盾！

羅素和懷海德在撰寫《數學原理》這部巨著快完成的時候，發現了上述的悖論，還有理髮師悖論，結果羅素在書的後記裏說：

科學家遇到最不幸的事情，莫過於當一件偉大的工作完成的時候，它的基礎卻早已倒塌

對於一般集合，不管是有限或無限，可數或不可數，我們通常可以寫出這樣的判斷函數，但是對於那些特別詭異的問題，像是《羅素的集合悖論》、《理髮師悖論》等等之類的集合，我們沒有辦法寫函數來求解，因為這種集合會造成數學矛盾，電腦也無法百分之百正確判斷！

為了解決集合論的悖論問題，數學家們可以說是想盡了各種辦法。

從《羅素悖論》發現開始，《數學家們》逐漸發展出《公理化集合論》，但是這樣的集合論雖然可以透過無法構造出《羅素悖論集合》而避開問題，但由於是採用《一階邏輯出發的》，所以不太適合用在電腦上。

更糟糕的是，即使採用了《公理化集合論》，仍然會遭遇一些《悖論》問題，這些《悖論》比較不嚴重，像是 《布拉利-福爾蒂悖論》 ，還有 《康托爾悖論》。

要瞭解這些悖論的成因，首先要理解何謂 《序數》 與 《基數》，然後看看《康托爾》等人是如何定義序數和基數的。

直覺上、基數代表集合的大小，像是集合 {1,2,3} 的基數就是 3，而序數代表順序，像是《第一、第二、第三》等等。

==== 以下段落來自 維基百科：基數 =====

康托爾在1874年－1884年引入最原始的集合論（現稱樸素集合論）時，首次引入基數概念。

他最先考慮的是集合{1,2,3}和{2,3,4}，它們並非相同，但有相同的基數。驟眼看來，這是顯而易見，但究竟何謂兩個集合有相同數目的元素？

康托爾的答案，是透過所謂的一一對應，即把兩個集合的元素一對一的排起來——若能做到，兩個集合的基數自然相同。這答案，容易理解但卻是革命性的，因為用相同的方法即可比較任意集合的大小，包括無窮集合。

最先被考慮的無窮集合是自然數集 N = {1, 2, 3, ...}及其無限子集。他把所有與 N 能一一對應的集為可數集。令康托爾意外的是，原來N的所有無限子集都能與N一一對應。他把N的基數稱為 N0，是最小的 阿列夫數 (往上還有 N1, N2, ...)。

康托爾發現，原來有理數集合與代數數集合也是可數的。於是乎在1874年初，他嘗試證明是否所有無限集合均是可數，其後他得出了實數集不可數的結論。原先的證明用到了涉及區間套的複雜論證，而在他1891年的論文中，他以簡單而巧妙的對角論證法重新證明了這一結果。實數集的基數，記作 C，代表連續統。

接著康托爾構作一個比一個大的集合，得出一個比一個大的基數，而這些巨大集合的元素已不可如實數般書寫出來。因此關於基數的一般理論，需要一個新的語言描述，這就是康托爾發明集合論的主因。

康托爾隨後提出 《連續統假設》：該假設認為 C 就是第二個超窮基數 N1，即繼 N0 之後最小的基數。

對於《連續統假設》成立或不成立，可以分為兩種情況：

(a). 成立： N0 < N1 = Card(R) (b). 不成立： N0 < N1 < Card(R)

康托爾當時採用的集合論稱為《樸素集合論》，這是在《羅素悖論被提出之前的事情了》！

後來為了處理悖論，數學家們發展出了《公理化集合論》，像是 ZFC 這樣的公理系統。

ZFC 發展出來之後，數學家們開始試圖去證明《連續統假設》，結果卻發現證明不了。

後來《哥德爾》和《柯恩》分別證明了連續統假設和集合論其餘公理是相容且獨立的。

1940年《哥德爾》證明了上述的 (a) 式與集合論其餘公理相容。

1963年《柯恩》證明了上述 (b) 式與集合論其他公理也相容。

所以現在我們知道《連續統假設》是不能證明的，即接受或否定它會得出兩套以上不同但邏輯上可行的公理化集合論。

這個結果和《歐氏幾何》的平行公設非常相似，承認與否認《連續統假設》都可以建構出完整且一致的集合論。

無限集的基數

最小的無限集合是自然數集。{1, 2, 3, 4,…, n, …} 與 {2, 4, 6, 8, …, 2n, …} 基數相同，因為可以讓前一集合的 n 與後一集合的 2n 一一對應。從這個例子可以看出，對於一個無窮集合來說，它可以和它的一個真子集有相同的基數。

無限集合具有下列特性：(下列四種定義等價)

1. 它不與任何自然數等勢 (等勢代表具有同樣基數，可以一對一映射)。
2. 它有超過一個等勢的序數。(兩種以上可以一對一映射的序數)
3. 它有至少一個真子集和它等勢。
4. 存在由自然數集到它的單射。

對角證法

《康托爾》透過一對一映射定義基數，發現《自然數、整數、有理數、代數數》之間都可以一對一映射。

於是《康托爾》開始企圖證明《所有無限集合均是可數的這件事情》。

結果大感意外的是，他反而證明出了《實數集是不可數的》這個定理。

該定理原先的證明相對複雜，但是後來在 1891 年的論文中，他以簡單而巧妙的 《對角論證法》 重新證明了《實數集是不可數的》。

證明了《實數集不可數》之後，《康托爾》實數集的基數，記作 C，代表連續統。

得出了實數集不可數的結論。

實數集合的大小

用下列方程式可以將 (0,1) 之間的實數集合，一對一映射到所有實數上。

$y=\frac{2x-1}{x^2}$

連續統假設

對每一個基數，存在一個最小比它大的基數。這在自然數當然是對的。自然數集的基數是 N0，康托爾稱下一個為 N1，相類似的，還定義了如下序列：N0, N1, N2, ....。

(注意 $C = 2^{N0}$ )

連續統假設猜想，就是 C=N1 。

連續統假設是與一般集論公理（即Zermelo-Fraenkel公理系統加上選擇公理）是獨立的。

更一般的廣義連續統假設假設是 $N_{n+1}=2^{N_n}$ ，也就是對所有無窮基數 N，都不存在介乎 N 與 $2^N$ 之間的基數。

必須特別注意的是，這個假設沒有被證明，康托爾花了一輩子，最後還陷入赤貧，並且罹患躁鬱症，但始終沒有辦法證明連續統假說。

小結

集合論是所有數學的基礎建設，但由於可能導致《悖論》的關係，因此數學上必須小心建構。

有些《悖論》的原因是我們想像力還沒到那種境界，像是《畢達哥拉斯學派》認為所有數都可以寫成 p/q 這種形式的《有理數》，沒辦法將想像力從《有理數》提升到《無理數》，就是一個經典的範例！

同樣的、從《實數》到《複數》的路上，也必須先承認 $\sqrt{-1}$ 是有意義的數字，才能夠釋放出那些對圓周運動非常有用的數學理論，《複數》在電磁學和訊號處理上的用途，是非常令人驚豔的！

另外的一些《悖論》，則是由於《數學基礎定義得不夠嚴謹》而產生的，像是《無限小》的概念經過《柯西》的《分析學》之後，就形成了一個相當嚴密的數學體系。

還有一些《悖論》，標示著《某些事物能力的極限》，像是羅素的《集合悖論、理髮師悖論》，還有《圖靈的停止問題、哥德爾不完備定理》等等，這些問題通常是我們無法 100% 完全正確解決的。

但是、這並不代表我們對這些問題完全無能為力。舉例而言、電腦的防毒問題，也就是判斷一個程式是否為病毒的問題，應該也是個《無法完全正確解決》的問題，但是我們還是可以寫出《檢查病毒》的程式，雖然無法100%正確，但是只要正確率夠高，對我們還是會很有幫助的！

《集合論》在經過羅素的《集合悖論、理髮師悖論》之後，被 Cantor 與後繼者改造成為《公理化集合論》，並透過《一階邏輯》進行了嚴密的定義，這讓集合論裏不會出現《自相矛盾集合》的現象，但是這並不代表所有問題都可以被解決了，一旦加上《數與加減乘除》等運算之後，就會發現還是有些問題是無法解決的。

像是《哥德爾不完備定理》中就證明了一個命題：《在涵蓋數論體系的數學世界中，一致性和完備性是無法兼得的》。

因此、有些定理是對的，但是我們證明不出來，萬一我們真的證明出來了，而且那個證明是對的，這時請先別高興，因為這代表你的公理系統已經出錯了！(整個數學大廈已然倒塌 ....)

以上就是我們從《電腦》的角度來看集合論的一些想法，或許很少《科學計算》與《數值分析》的書會談論這樣的主題，但是這本書希望盡可能涵蓋更多的《數學、科學與程式》之間的主題，因此您將會在後續的章節當中，繼續看到很多類似這樣的數學科學主題，而這也是筆者寫這本書的主要出發點！