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10 LambdaAfter
在 Lambda Calculus 之後，數學和計算理論中有許多重要的發展，這些發展延伸了 Lambda Calculus 的核心概念，並應用於計算理論、程式語言設計、邏輯學、以及現代計算機科學領域。以下是幾個主要的相關發展：
Lambda Calculus 本身並不涉及類型，但類型系統的引入是 Lambda Calculus 發展的重要一環。類型系統為函數提供了結構，並強制執行程序的安全性。這些系統的發展包括：
- 強類型語言：如 ML 和 Haskell，它們基於 Lambda Calculus，但引入了類型來提高表達能力和保證程序的正確性。
- 類型推斷：Hindley-Milner 類型系統使得在不顯式指定類型的情況下，語言仍能自動推斷出類型。
- 依賴類型：如 Idris 和 Agda，這些語言的類型系統可以依賴於程序的運行時數據，進一步擴展了 Lambda Calculus 的理論。
線性邏輯是由 Jean-Yves Girard 提出的，這一理論擴展了 Lambda Calculus 的語法和語義。線性邏輯強調資源的消耗與保護，它的運算符類似於 Lambda Calculus，但每個資源（或項目）只能使用一次。這在某些領域（例如並行計算和資源管理）有著重要的應用。
函數式程式語言（如 Lisp、Scheme、Haskell）直接受到 Lambda Calculus 的影響。這些語言以 Lambda 表達式為核心，並進一步發展了高階函數、遞歸、柯里化（Currying）等概念。函數式編程推廣了純粹函數的概念，這對於處理狀態和副作用問題具有重要意義。
- Turing 機器與 Lambda Calculus：Lambda Calculus 和 Turing 機器有著等價的計算能力，它們都是圖靈完備的模型，這意味著所有可計算的函數都可以用 Lambda 表達式來描述。這一等價性引導了計算理論中對「計算」本質的探索。
- 遞歸理論與可計算性：Lambda Calculus 也對可計算性理論、遞歸理論等領域產生了深遠影響，這些理論探索哪些問題是可以被算法解決的。
- Monads：在函數式程式語言中，Monad 是一種結構，用於處理副作用。它是基於 Lambda Calculus 的延伸，用於抽象出運算的順序控制，並使得副作用的管理變得更加結構化和可控。
- Combinatory Logic（組合邏輯）：由 Haskell Curry 和 Robert Feys 提出的組合邏輯，這是 Lambda Calculus 的一個重要擴展，它消除了變量的需要，並專注於函數組合。
Lambda Calculus 的結構對自動化定理證明技術（如 Coq、Isabelle、HOL）有重要的影響。這些定理證明工具廣泛應用於形式驗證、數學證明和程式語言設計中，使用類似 Lambda Calculus 的技術來表示和推理數學語言。
量子計算的發展也啟發了與 Lambda Calculus 相關的領域。量子 Lambda Calculus 旨在將量子計算引入 Lambda 演算的框架中，這是一個積極發展的領域，探索如何將量子計算與函數式程式設計相結合。
這些發展展示了 Lambda Calculus 的理論基礎在計算機科學中如何被進一步拓展，並如何影響現代程式語言、數學理論及各種技術領域。
- Typed Lambda Calculus: https://serokell.io/blog/look-at-typed-lambda-calculus
- 簡單類型 lambda Calculus: https://github.com/branebb/simply-typed-lambda-calculus/blob/main/STLC.hs
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