反向传播

docs/chapter14/chapter14.md

@@ -1,6 +1,6 @@
-# BackPropagation
-# 背景
-## 梯度下降
+
+## 背景
+### 梯度下降
 ![](res/chapter14-1.png)
 
 - 给到 $\theta$ (weight and bias)
@@ -9,30 +9,30 @@
 - 百万级别的参数（millions of parameters）
 - 反向传播（Backpropagation）是一个比较有效率的算法，让你计算梯度（Gradient） 的向量（Vector）时，可以有效率的计算出来
 
-## 链式法则
+### 链式法则
 ![](res/chapter14-2.png)
 - 连锁影响(可以看出x会影响y，y会影响z)
 - BP主要用到了chain rule
 
 
-# 反向传播
+## 反向传播
 
-1. **损失函数(Loss function)是定义在单个训练样本上的**，也就是就算一个样本的误差，比如我们想要分类，就是预测的类别和实际类别的区别，是一个样本的，用L表示。
-2. **代价函数(Cost function)是定义在整个训练集上面的**，也就是所有样本的误差的总和的平均，也就是损失函数的总和的平均，有没有这个平均其实不会影响最后的参数的求解结果。
-3. **总体损失函数(Total loss function)是定义在整个训练集上面的**，也就是所有样本的误差的总和。也就是平时我们反向传播需要最小化的值。
+1. 损失函数(Loss function)是定义在单个训练样本上的，也就是就算一个样本的误差，比如我们想要分类，就是预测的类别和实际类别的区别，是一个样本的，用L表示。
+2. 代价函数(Cost function)是定义在整个训练集上面的，也就是所有样本的误差的总和的平均，也就是损失函数的总和的平均，有没有这个平均其实不会影响最后的参数的求解结果。
+3. 总体损失函数(Total loss function)是定义在整个训练集上面的，也就是所有样本的误差的总和。也就是平时我们反向传播需要最小化的值。
 ![](res/chapter14-3.png)
 
 对于$L(\theta)$就是所有$l^n$的损失之和，所以如果要算每个$L(\theta)$的偏微分，我们只要算每个$l^n$的偏微分，再把所有$l^n$偏微分的结果加起来就是$L(\theta)$的偏微分，所以等下我们只计算每个$l^n​$的偏微分。
 我们先在整个神经网络（Neural network）中抽取出一小部分的神经（Neuron）去看（也就是红色标注的地方）：
 ![](res/chapter14-4.png)
 
-### 取出一个Neuron进行分析
+#### 取出一个Neuron进行分析
 ![](res/chapter14-5.png)
 从这一小部分中去看，把计算梯度分成两个部分
 
 - 计算$\frac{\partial z}{\partial w}$（Forward pass的部分）
 - 计算$\frac{\partial l}{\partial z}​$ ( Backward pass的部分 )
-## Forward Pass
+### Forward Pass
 
 那么，首先计算$\frac{\partial z}{\partial w}​$（Forward pass的部分）：
 ![](res/chapter14-6.png)
@@ -46,7 +46,7 @@ $\frac{\partial z}{\partial w_1} = x_1 \\ \frac{\partial z}{\partial w_2} = x_2$
 
 
 
-## Backward Pass
+### Backward Pass
  (Backward pass的部分)这就很困难复杂因为我们的l是最后一层：
 那怎么计算 $\frac{\partial l}{\partial z}$ （Backward pass的部分）这就很困难复杂因为我们的$l$是最后一层：
 
@@ -68,13 +68,13 @@ $\frac{\partial l}{\partial a} = \frac{\partial z'}{\partial a}\frac{\partial l}
 
 ![](res/chapter14-11.png)
 
-### case 1 : Output layer
+#### case 1 : Output layer
 假设$\frac{\partial l}{\partial z'}$和$\frac{\partial l}{\partial z''}​$是最后一层的隐藏层
 也就是就是y1与y2是输出值，那么直接计算就能得出结果
 ![](res/chapter14-12.png)
 
 但是如果不是最后一层，计算$\frac{\partial l}{\partial z'}$和$\frac{\partial l}{\partial z''}​$的话就需要继续往后一直通过链式法则算下去
-### case 2 : Not Output Layer
+#### case 2 : Not Output Layer
 ![](res/chapter14-13.png)
 对于这个问题，我们要继续计算后面绿色的$\frac{\partial l}{\partial z_a}$和$\frac{\partial l}{\partial z_b}$,然后通过继续乘$w_5$和$w_6$得到$\frac{\partial l}{\partial z'}$，但是要是$\frac{\partial l}{\partial z_a}$和$\frac{\partial l}{\partial z_b}$都不知道，那么我们就继续往后面层计算，一直到碰到输出值，得到输出值之后再反向往输入那个方向走。
 
@@ -85,7 +85,7 @@ $\frac{\partial l}{\partial a} = \frac{\partial z'}{\partial a}\frac{\partial l}
 
 实际上进行backward pass时候和向前传播的计算量差不多。
 
-# 总结
+## 总结
 我们的目标是要求计算$\frac{\partial z}{\partial w}$（Forward pass的部分）和计算$\frac{\partial l}{\partial z}$ ( Backward pass的部分 )，然后把$\frac{\partial z}{\partial w}$和$\frac{\partial l}{\partial z}$相乘，我们就可以得到$\frac{\partial l}{\partial w}$,所有我们就可以得到神经网络中所有的参数，然后用梯度下降就可以不断更新，得到损失最小的函数
 ![](res/chapter14-16.png)